Исследуйте функцию u = x^2 + y^2 + 2z^2 на экстремумы при условии x-y+z=5

задан 13 Мар 16:11

Если не требуется применять метод Лагранжа в качестве обязательного, то можно или выразить z и подставить, или применить неравенство Коши - Буняковского.

(13 Мар 21:08) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Применим метод множителей Лагранжа: $%x^2+y^2+2z^2+\lambda(x-y+z-5)\to\operatorname{extr}$%. Приравниваем частные производные к нулю: $%2x+\lambda=0, 2y-\lambda=0,4z+\lambda=0$%. Кроме того, есть ещё уравнение $%x-y+z=5$%. Выражаем из первых трёх уравнений $%x,y,z$%, подставляем в последнее и находим $%x=2,y=-2,z=1,\lambda=-4$%. Второй дифференциал имеет вид $%\left(\frac{\partial}{ \partial x}dx+\frac{\partial}{ \partial y}dy+\frac{\partial}{ \partial z}dz\right)^2f(2,-2,1)$%, где $%f(x,y,z)=x^2+y^2+2z^2$%. Раскрываем этот квадрат формально:$$\frac{\partial^2f(2,-2,1)}{\partial x^2}(dx)^2+\frac{\partial^2f(2,-2,1)}{\partial y^2}(dy)^2+\frac{\partial^2f(2,-2,1)}{\partial z^2}(dz)^2+2\frac{\partial^2f(2,-2,1)}{\partial x\partial y}dxdy+$$ $$+2\frac{\partial^2f(2,-2,1)}{\partial y\partial z}dydz+2\frac{\partial^2f(2,-2,1)}{\partial z\partial x}dzdx$$ и видим, что полученное выражение строго больше нуля при любых $%dx,dy,dz$%, одновременно отличных от нуля. Тем самым, найдена точка локального минимума.

В этой задаче повезло, что второй дифференциал в нашей точке всегда положителен. В общем случае надо было бы воспользоваться уравнением связи $%dx-dy+dz=0$%, полученным из условия равенства нулю скалярного произведения вектора частных производных ограничения $%x-y+z=5$% (посчитанного в найденной критической точке) на вектор $%(dx,dy,dz)$%.

ссылка

отвечен 13 Мар 18:01

изменен 13 Мар 18:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,131

задан
13 Мар 16:11

показан
56 раз

обновлен
13 Мар 21:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru