Найдите наибольшее и наименьшее значение функции z = 3x^2-5xy+2y^2+2x-y в замкнутой области, заданной неравенствами 0<=x, 0<=y, x+y<=7

задан 13 Мар 16:14

10|600 символов нужно символов осталось
0

Тут поинтереснее. Опишу общий алгоритм решения.

Сперва переформулируем первые ограничения так: $%-x\leq0, -y\leq0$%, а потом составим функцию Лагранжа: $%3x^2-5xy+2y^2+2x-y-\lambda_1x-\lambda_2y+\lambda_3(x+y-7)\to\min$%.

Тут должны выполняться условия согласования знаков $%\lambda_{1,2,3}\geq0$% и условия дополняющей нежёсткости $%\lambda_1x=0$%, $%\lambda_2y=0$%, $%\lambda_3(x+y-7)=0$%. Если бы ограничений в виде неравенств не было, то данные условия мы бы записывать не стали.

Далее, записываем условия стационарности по обеим переменным (частные производные приравниваются к нулю): $%6x-5y+2-\lambda_1+\lambda_3=0$%, $%-5x+4y-1-\lambda_2+\lambda_3=0$%. Итого имеем систему из пяти уравнений с пятью неизвестными, причём первые три уравнения распадаются каждое на два случая. Дальше выполняем перебор вариантов:

  1. $%\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$%, тогда $%6x-5y+2=0$% и $%-5x+4y-1=0$%. Её решение $%(3,4)$% удовлетворяет всем исходным ограничениям задачи, поэтому запомним его.
  2. $%\lambda_1=\lambda_2=0,\lambda_3>0,$%, тогда $%x+y-7=0$% плюс ещё два уравнения $%6x-5y+2+\lambda_3=0$%, $%-5x+4y-1+\lambda_3=0$%. Решая ее, находим $%\lambda_3=0$% -- противоречие.
  3. $%\lambda_1=0,\lambda_2>0,\lambda_3=0,$% тогда $%y=0$%, $%6x+2=0$%, что противоречит условию $%x\geq0$%.
  4. $%\lambda_1=0,\lambda_2>0,\lambda_3>0,$% тогда $%y=0,x+y-7=0$%, откуда $%x=7$% плюс ещё уравнение $%6x+2+\lambda_3=0$% даёт $%\lambda_3<0$% -- противоречие.
  5. $%\lambda_1>0,\lambda_2=0,\lambda_3=0$%; в этом случае $%x=0$%, $%-5y+2-\lambda_1=0$%, $%4y-1=0$%, что даёт $%y=\frac{1}{4}$%, $%\lambda_1=\frac{3}{4}$% -- противоречий нет, найдена критическая точка $%\left(0,\frac{1}{4}\right)$%.
  6. $%\lambda_1>0,\lambda_2=0,\lambda_3>0$%; $%\lambda_1>0,\lambda_2>0,\lambda_3=0$%; $%\lambda_1>0,\lambda_2>0,\lambda_3>0$% -- проверьте самостоятельно.

В итоге все найденные критические точки подставляем в целевую функцию $%3x^2-5xy+2y^2+2x-y$% и выбираем ту, что даёт минимальное значение. Для исследования на максимум просто исследуем на минимум функцию $%-(3x^2-5xy+2y^2+2x-y)$%, т.е. повторяем с ней тот же алгоритм.

ссылка

отвечен 13 Мар 17:26

изменен 13 Мар 17:37

10|600 символов нужно символов осталось
0

Задача нахождения наибольшего и наименьшего значения проще, чем задача нахождения локальных экстремумов и исследования их характера. Поэтому можно метод Лагранжа не применять.

Множество замкнуто и ограничено, а функция непрерывна. Поэтому оба значения достигаются -- либо в критической точке, либо на границе области.

Находим частные производные: $%z_x=6x-5y+2$%; $%z_y=-5x+4y-1$%. Приравнивая то и другое нулю, находим $%x=3$%, $%y=4$%. Эта точка принадлежит границе области, поэтому внутри области критических точек нет, и оба значения достигаются на границе.

Граница состоит из трёх участков. При $%x=0$% имеем $%y\in[0,7]$%, где функция равна $%z=z(0,y)=2y^2-y$%. Здесь наименьшее значение достигается в вершине параболы при $%y=\frac14$%, и оно равно $%z(0,\frac14)=-\frac18$%. Наибольшее значение на этом участке границы достигается при $%y=7$%, и оно равно $%z(0,7)=91$%.

При $%y=0$% имеем $%x\in[0,7]$%, где функция имеет вид $%z=z(x,0)=3x^2+2x$%. Она возрастает; наименьшее значение на участке равно $%z(0,0)=0$%; наибольшее равно $%z(7,0)=161$%.

Наконец, рассматриваем третий участок границы, где $%x\in[0,7]$% и $%y=7-x$%. Здесь $%z=z(x,7-x)=10x^2-60x+91=10(x-3)^2+1$%. Наименьшее значение $%1$% достигается при $%x=3$%; наибольшее значение $%161$% при $%x=7$%.

Сравнивая значения, получаем, что наименьшее значение функции на треугольнике равно $%-\frac18$% и достигается в единственной точке $%(x,y)=(0,\frac14)$%. Наибольшее значение равно $%161$% и достигается в единственной точке $%(x,y)=(7,0)$%.

ссылка

отвечен 13 Мар 21:46

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,010

задан
13 Мар 16:14

показан
55 раз

обновлен
13 Мар 21:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru