Если уж сегодня день нахождения экстремальных значений, то ещё одно. Найти минимальное значение функции sqrt(2+x^2)+sqrt(2+(x-y)^2)+sqrt(2+(y-z)^2)+sqrt(2+(2-z)^2). Правда смущает последний радика- выбивается как-то из строя. А может нет? Но решить не получилось

задан 13 Мар 23:28

4

Это путь бильярдного шара из левой нижней лузы в левую верхнюю от трех бортов на столе размерами $%\sqrt2 \times 2$%. Соответственно минимум будет равен длине диагонали прямоугольника $%4\sqrt2 \times 2$% (отражаем вправо прямоугольник 3 раза). Или $%\sqrt{16\cdot 2 + 2^2} = \sqrt {36} = 6$%

(14 Мар 0:02) spades
1

Можно трижды применить неравенство треугольника.

(14 Мар 0:06) EdwardTurJ
1

Да, на геометрическом языке всё так и будет. Это длина ломаной с вершинами (0,0), (a,x), (0,y), (a,z), (0,2), где a=sqrt(2).

(14 Мар 0:11) falcao

@spades,@EdwardTurJ,@falcao. К сожалению ни в одном из трёх вариантов не разобрался. Поподробнее бы

(14 Мар 0:55) epimkin

@epimkin: Вам прекрасно известна идея интерпретации квадратных корней как расстояний между точками. Пусть a=sqrt(2). Выписываем точки (0,0), (a,x), (0,y), (a,z), (0,2) и непосредственно убеждаемся, что сумма расстояний между ними есть величина из условия. Теперь заменим их на (0,0), (a,x), (2a,y), (3a,z), (4a,2). (Это и есть отражения.) Видим, что сумма расстояний та же. Она не больше расстояния между началом и концом, которое равно 6. Соединяя точки отрезком, видим, что минимум достигается при x=1/2, y=1, z=3/2 (по пропорции).

(14 Мар 1:13) falcao

@falcao, так все понятно, кроме видно основного» теперь заменим их.....

(14 Мар 1:25) epimkin

@epimkin: если Вы сделаете рисунок, то будет ясно, как до такой замены догадаться. Первоначальная ломаная идёт вверх - вниз -- вверх -- ... ; мы вместо неё рассматриваем ломаную с звеньями такой же длины, которые идут только вверх. Поэтому там, где координату уменьшали на a, стали её увеличивать. Координаты, правда, надо переставить.

(14 Мар 2:00) falcao

@falcao, я понял, спасибо

(14 Мар 2:17) epimkin
1

@epimkin: Воспользуемся неравенством треугольника $$\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}≥\sqrt{(x_1±x_2)^2+(y_1±y_2)^2}:$$ $$\sqrt{(\sqrt2)^2+x^2}+\sqrt{(\sqrt2)^2+(x-y)^2}+\sqrt{(\sqrt2)^2+(y-z)^2}+\sqrt{(\sqrt2)^2+(2-z)^2}≥$$ $$≥\sqrt{(\sqrt2+\sqrt2)^2+(x-(x-y))^2}+\sqrt{(\sqrt2+\sqrt2)^2+((y-z)-(2-z))^2}=$$ $$=\sqrt{(2\sqrt2)^2+y^2}+\sqrt{(2\sqrt2)^2+(y-2)^2}≥\sqrt{(2\sqrt2+2\sqrt2)^2+(y-(y-2))^2}=6.$$

(14 Мар 10:53) EdwardTurJ

@spades, @EdwardTurJ,@falcao, Кто нибудь ответил бы - жалко закрывать вопрос- он мне понравился, может кому пригодится

(14 Мар 17:41) epimkin

@epimkin: тут достаточно информации в комментариях -- на случай, если встретится похожая задача. Тогда можно будет оставить ссылку.

(14 Мар 19:00) falcao

@EdwardTurJ, а вот в Вашей исходной формуле(самой первой) когда ставится плюс, а когда минус ( там, где плюс-минус)?

(15 Мар 18:07) epimkin

@epimkin: неравенство верно для любого сочетания плюсов и минусов -- по причине того, что x2 можно заменить на -x2 и т.п.

Вообще, выписывать такую длинную цепочку неравенств не обязательно. Достаточно понять геометрический смысл. Там обычное неравенство треугольника.

(15 Мар 18:25) falcao

@falcao, спасибо

(15 Мар 18:56) epimkin
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Проблема не актуальна". Закрывший - epimkin 15 Мар 18:56

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,045

задан
13 Мар 23:28

показан
118 раз

обновлен
15 Мар 18:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru