Как найти коммутант полупрямого произведения и чему он будет равен?

задан 14 Мар 1:00

изменен 14 Мар 1:22

@trambon: коммутатор бывает у элементов, а у группы (полупрямого произведения) бывает коммутант (подгруппа, порождённая всеми коммутаторами). Вам надо его строения описать для общего случая или для какого-то конкретного?

(14 Мар 1:16) falcao

@falcao да, я перепутал. Коммутант (странно, что в английском нет такого слова, у них это commutator subgroup). Для общего случая

(14 Мар 1:19) trambon

@falcao Т.е найти коммутант полупрямого произведения циклических групп, порядков n и m соответственно

(14 Мар 1:21) trambon

@trambon: да, по-английски говорят commutator subgroup или derived subgroup, а словом commutant иногда называют централизатор.

Полупрямое произведение не определяется однозначно двумя группами. Нужен ещё автоморфизм B->Aut(A). Даже для случая циклических групп, возможно несколько разных полупрямых произведений. Может быть, автоморфизм тоже как-то уже задан? Или ограничения на значения n и m?

Ещё надо помнить о том, что в разных изложениях могут менять порядок сомножителей.

(14 Мар 2:07) falcao

@falcao данное полупрямое произведёние определяется соотношением ba^(-1)b=a^k. Где k это степень в группе <a_{n}>

(14 Мар 3:02) trambon

Т.е оно удовлетворяет условию k^m=1 mod n

(14 Мар 3:03) trambon

@trambon: вместо $%ba^{-1}b$% должно быть или $%b^{-1}ab$%, или $%bab^{-1}$%. Тогда полупрямое произведение будет однозначно задано.

(14 Мар 3:40) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть соотношения группы $%G$% имеют вид $%a^n=1$%, $%b^m=1$%, $%b^{-1}ab=a^k$%, где $%k^m\equiv1\pmod n$% (в частности, $%k$% взаимно просто с $%n$%, то есть правило $%a\mapsto a^k$% индуцирует автоморфизм циклической групп порядка $%n$%).

Ясно, что коммутатор $%[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab$% равен $%a^{k-1}$%, то есть циклическая подгруппа $%H=\langle a^{k-1}\rangle$% содержится в коммутанте полупрямого произведения. С другой стороны, $%H$% нормальна в $%G$%, так как любой внутренний автоморфизм группы $%G$% оставляет $%A=\langle a\rangle$% на месте, индуцируя некоторый её автоморфизм, а её подгруппа $%H=A^{k-1}$% переходит в себя, так как автоморфизм переводит $%(k-1)$%-е степени в $%(k-1)$%-е степени.

В факторгруппе $%G/H$% выполнено соотношение коммутативности для $%aH$% и $%bH$%, так как $%[a,b]H=a^{k-1}H=H$%. Тем самым, факторгруппа абелева, и потому она содержит коммутант.

Таким образом, $%G'$% равен подгруппе, порождённой элементом $%a^{k-1}$%. Порядок последней равен $%\frac{n}d$%, где $%d=НОД(n,k-1)$%.

ссылка

отвечен 14 Мар 19:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×824

задан
14 Мар 1:00

показан
77 раз

обновлен
14 Мар 19:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru