http://prntscr.com/mxi80i Подскажите, пожалуйста. Буду благодарен.

задан 14 Мар 1:06

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если функция имеет полюс $%k$%-го порядка, то её можно записать в виде $$ f(z) = \frac{g(z)}{(z-z_0)^k}, $$ где $%g(z)$% - регулярная функция...

А теперь покажите, что для функции $%F(z) = \exp\frac{g(z)}{(z-z_0)^k}$% ни при каком натуральном $%m$% не существует пределов $$ \lim\limits_{z\to z_0} (z-z_0)^m\cdot F(z) $$

============================

Или представить функцию $%f$% в виде суммы главной и регулярной части ряда Лорана $$ f(z)=f_1(z)+ f_2(z) = \sum\limits_{n=1}^{k}\frac{a_k}{(z-z_0)^n}+ \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_k(z-z_0)^n $$

Тогда $%e^f = e^{f_1}\cdot e^{f_2}$%... Говорим, что $%e^{f_2}$% - будет регулярной и не равной нулю в точке $%z_0$%... а второй множитель имеет следующее представление $$ e^{f_1} = \sum\limits_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!}\cdot \left(\sum\limits_{n=1}^{k}\frac{a_k}{(z-z_0)^n}\right)^m $$

ссылка

отвечен 14 Мар 12:59

изменен 14 Мар 13:13

@all_exist: у меня было примерно то соображение, которое используется при доказательстве леммы Даламбера. А именно, $%g(z_0)\ne0$%, и если начать обходить $%z_0$% по окружности малого радиуса, то числитель почти не меняется, а аргумент знаменателя принимает все значения. Тогда можно добиться того, чтобы $%f(z)$% было вещественным с аргументом как 0, так и $%\pi$%, что даёт стремление показателя как к плюс, так и к минус бесконечности, поэтому $%e^{f(z)}$% предела не имеет.

Правда, если тут прописывать все детали и оценки, то может получиться длинновато.

(14 Мар 19:21) falcao

@Комплан, Вы о чём?...

а про первое рассуждение... ну, разложите функцию в ряд по степеням показателя аргумента этой функции...

(18 Мар 22:44) all_exist

@all_exist, а почему в 1м решении функцию обладающую полюсом k-го порядка можно так представить?

(22 Мар 0:29) Комплан

@Комплан: это свойство полюса k-го порядка близко к его определению (см. здесь или в учебниках, где говорится о полюсах).

(22 Мар 1:04) falcao

@falcao, спасибо, да, там просто вынести надо 1/(z-z0)^k в ряде Лорана. Я просто не знал определение полюса, что конечное число членов в главной части. У нас вроде было определение только через предел равный бесконечности.

(22 Мар 1:47) Комплан

@Комплан: всё верно, но обычно вслед за определением идёт более детальное рассуждение, которое проясняет ситуацию с полюсами. В частности, вводится понятие полюса данного порядка, и рассматривается критерий.

(22 Мар 7:12) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×125

задан
14 Мар 1:06

показан
111 раз

обновлен
22 Мар 7:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru