В школе любой ребёнок может взять любое количество конфет. Потом детей делят на случайные группы по $%8$% человек в каждой и у одного ребёнка в каждой группе всегда конфет не менее $%70$% процентов от общего количества конфет в этой группе (с учётом количества конфет и у этого ребёнка). Доказать, что во всей школе найдётся ребёнок у которого конфет не менее $%68$% процентов от общего количества конфет.

задан 14 Мар 1:44

10|600 символов нужно символов осталось
1

Несколько смущает число 68 -- по-моему, там легко получается более точная оценка, заведомо большая 69 процентов.

Упорядочим числа конфет у учеников: $%a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_{8k}$%. По условию, $%a_i\ge\frac7{10}(a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+7})$% для всех $%i\le8k-7$%, так как можно сформировать именно такую группу из 8 учеников, где $%a_i$% будет наибольшим числом конфет у его участника. Отсюда $%a_i\ge\frac73(a_{i+1}+\cdots+a_{i+7})$%. В частности, $%a_i\ge\frac73a_{i+1}$% для всех подходящих $%i$%, откуда $%a_i\ge\frac73a_{i+1}\ge(\frac73)^2a_{i+2}\ge\cdots\ge(\frac73)^8a_{i+8}$%.

Из сказанного следует, что $%a_1+\cdots+a_{k-8}\ge(\frac73)^8(a_9+\cdots+a_{8k})$%, то есть $%a_9+\cdots+a_{8k}\le(\frac37)^8(a_1+\cdots+a_{k-8})\le(\frac37)^8S$%, где $%S=a_1+\cdots+a_{8k}$% есть сумма всех чисел.

Из последнего неравенства следует, что $%a_1+\cdots+a_8\ge(1-(\frac37)^8)S$%, то есть доля $%a_1$% от общей суммы $%S$% составляет не менее $%0,7(1-(\frac37)^8)$%. Это заведомо больше $%0,69$% (а вообще-то даже больше $%0,699$%, если подсчитать точнее), так как $%(\frac37)^8 < (\frac12)^8 < \frac1{100} < \frac1{70}$%, что уже даёт более 69 процентов конфет у первого ученика.

ссылка

отвечен 14 Мар 19:16

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,248

задан
14 Мар 1:44

показан
26 раз

обновлен
14 Мар 19:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru