логарифмы - Выразить в уравнении переменную через другие

Вряд ли решение такого уравнения может как-то выражаться аналитически. Даже для $%y=x^x$% обратное выражение не имеет хорошего вида.

Можно доказать разве что следующее: функция $$f(z)=\frac{(z-1)\ln(z-1)}{z\ln z},$$ определённая при $%z > 1$%, строго монотонно возрастает, принимая значения из $%(-\infty,1)$% ровно по разу. Поэтому решение уравнения $%f(z)=PB/A$% существует и единственно при $%PB/A < 1$%.

Скорее всего, здесь можно указать какие-то приближённые формулы, но при этом надо знать, какие именно значения в первую очередь интересны: вблизи единицы, вблизи бесконечности, или где-то ещё.

Добавление. Для того уравнения, которое написано сейчас, можно взять экспоненты от обеих частей и переписать его в виде $$\frac{z-1}{Pz}=z^{c/(z-1)},$$ где $%c=B/A$%. После замены $%u=1/(z-1)$% оно приобретает вид $$g(u)=u\left(1+\frac1{u}\right)^{cu+1}=p,$$ где $%p=1/P$%. В таком виде его удобнее исследовать. Судя по всему, тут также имеет место возрастание, то есть решение для $%p > 1$% должно существовать и быть единственным. Кроме того, при больших значениях $%u$% функция $%g(u)$% становится близка к линейной: $%g(u)\approx e^c(u+1)$% при $%u\gg 1$%.Не знаю, правда, в какой мере это может быть полезно. Точного обратного выражения тут не имеется. Можно, наверное, указать приближение для функции вблизи $%u=0$%. Там получается что-то вроде $%g(u)=u+u^2+o(u^2)$%, то есть для больших $%P$% получается приближённое значение с весьма высокой точностью.