Привет, подскажите, что-почитать/посмотреть для того чтобы найти решение (z) вот такого уравнения:

$$\ln \left( \frac{z-1}{P \cdot z} \right) = \frac{B \cdot \ln z}{A \cdot(z-1)}$$

или совет как выразить тут z через P, B и A.

UPDATE: После разговора с преподавателем, оказалось, что данное уравнение можно решить численным методом, в частности методом Ньютона. Спасибо всем кто старался мне помочь!

задан 14 Май '13 0:05

изменен 16 Май '13 22:42

@genson, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.

(14 Май '13 1:01) DocentI

@genson: сейчас здесь написано не то, что было в самом начале. В левой части появился логарифм от дроби, которого раньше не было.

(14 Май '13 1:13) falcao

@falcao очень странно, возможно я что-то с оформлением напутал. Логарифм от дроби в левой части имеет место быть.

(14 Май '13 1:17) genson

@genson: Тогда это совсем другая задача. Здесь от логарифмов сразу можно избавиться. Получается уравнение степенного вида. Что известно про значения параметров?

(14 Май '13 1:23) falcao

P (0:1), A и B примерно (0:10), можно сказать коэффициенты.

(14 Май '13 1:27) genson

@genson: что означают двоеточия?

(14 Май '13 1:33) falcao

интервал, там должны быть точка с запятой.

(14 Май '13 1:36) genson

@falcao, как избавиться? Не вижу.
@genson, с точки зрения математики два коэффициента A и B не нужны, нужно только их отношение.

(14 Май '13 1:59) DocentI
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
2

Вряд ли решение такого уравнения может как-то выражаться аналитически. Даже для $%y=x^x$% обратное выражение не имеет хорошего вида.

Можно доказать разве что следующее: функция $$f(z)=\frac{(z-1)\ln(z-1)}{z\ln z},$$ определённая при $%z > 1$%, строго монотонно возрастает, принимая значения из $%(-\infty,1)$% ровно по разу. Поэтому решение уравнения $%f(z)=PB/A$% существует и единственно при $%PB/A < 1$%.

Скорее всего, здесь можно указать какие-то приближённые формулы, но при этом надо знать, какие именно значения в первую очередь интересны: вблизи единицы, вблизи бесконечности, или где-то ещё.

Добавление. Для того уравнения, которое написано сейчас, можно взять экспоненты от обеих частей и переписать его в виде $$\frac{z-1}{Pz}=z^{c/(z-1)},$$ где $%c=B/A$%. После замены $%u=1/(z-1)$% оно приобретает вид $$g(u)=u\left(1+\frac1{u}\right)^{cu+1}=p,$$ где $%p=1/P$%. В таком виде его удобнее исследовать. Судя по всему, тут также имеет место возрастание, то есть решение для $%p > 1$% должно существовать и быть единственным. Кроме того, при больших значениях $%u$% функция $%g(u)$% становится близка к линейной: $%g(u)\approx e^c(u+1)$% при $%u\gg 1$%.Не знаю, правда, в какой мере это может быть полезно. Точного обратного выражения тут не имеется. Можно, наверное, указать приближение для функции вблизи $%u=0$%. Там получается что-то вроде $%g(u)=u+u^2+o(u^2)$%, то есть для больших $%P$% получается приближённое значение с весьма высокой точностью.

ссылка

отвечен 14 Май '13 1:09

изменен 14 Май '13 2:04

10|600 символов нужно символов осталось
0

Не совсем понятная запись, но, судя по всему, в общем виде это уравнение не решается в элементарных функциях.

ссылка

отвечен 14 Май '13 1:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×206

задан
14 Май '13 0:05

показан
1944 раза

обновлен
16 Май '13 22:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru