Пусть $%R=k[x,y]/I,I=(x)\cap(x,y)^2=(x^2,xy)$%.

Доказать, что

  1. $%(0)=(x)\cap(y^n)$% для любого $%n$%
  2. $%(0)=(x)\cap(x+cy^n)$% для любого $%c\in k-\{0\}$% и любого $%n$%

задан 16 Мар 0:40

Наверное, это очевидно? Например, если $%t\in (x)\cap(x+cy^n)$% то $%t=x(x+cy^n)p(x,y)=x^2p(x,y)+cxy^np(x,y)$% где $%p(x,y)\in R$%. Но это равно нулю в факторкольце.

(16 Мар 2:06) Slater
10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Пусть элемент факторкольца принадлежит пересечению двух идеалов. Тогда он представим в виде $%xf+I=y^ng+I$% для некоторых многочленов $%f,g\in k[x,y]$%. Разность $%y^ng-f$% принадлежит идеалу, то есть является линейной комбинацией мономов, содержащих $%x^2$% или $%xy$%. В частности, она делится на $%x$%. Тогда $%y^ng$% тоже делится, а это означает, что в стандартной форме записи многочлена, всего его мономы содержат $%x$%. Здесь они также содержат $%xy^n$%, и при $%n\ge1$% они содержат $%xy$%, то есть $%y^ng\in I$%. Это значит, что рассмотренный элемент пересечения в факторкольце нулевой.

2) Здесь аналогично: если $%xf+I=(x+cy^n)g+I$%, откуда $%cy^ng$% делится на $%x$%. Домножаем на $%c^{-1}\in k$%, и далее получаем, что $%y^ng$% делится на $%x$%, и $%g$% тоже делится. Значит, элемент $%(x+cy^n)g$% раскладывается по $%x^2$% и $%xy$%, то есть задаёт ноль факторкольца.

ссылка

отвечен 16 Мар 3:11

Почему $%y^ng-f\in I$%?

А нельзя было бы сказать, как я в комментарии написал? Т.е. в данном случае если $%t\in (x)\cap(y^n)$%, то $%t$% делится в факторкольце и на $%x$% и на $%y^n$%, откуда всё следует?

(16 Мар 3:24) Slater

@Slater: a+I=b+I <=> a-b \in I, что относится к числу самых элементарных свойств смежных классов (для случая даже не колец, а групп).

Здесь на самом деле всё очевидно, но почему-то действует "закон подлости". Напишешь фрагментарно -- начнутся мелкие вопросы. Напишешь "как в книжке" -- спросят, а нельзя ли написать менее формально. Видимо, на содержательном уровне Ваши соображения из комментария проходят, но я старался быть более формальным, рассматривая пересечение идеалов в факторкольце, а не их проообразов в кольце многочленов.

(16 Мар 3:40) falcao

Про a+I=b+I <=> a-b \in I мне известно, но проблема в том, что исходное равенство $%xf+I=y^ng+I$%, и если использовать вышеуказанное, то отсюда должно выводиться $%y^ng-xf\in I$%, а не $%y^ng-f\in I$%. Наверное, это опечатка в ответе.

Тут я сам начал использовать abuse of notation (зря), так что прообразы я не рассматривал. Но сейчас я свое доказательство не очень понимаю: если $%t=XH(X,Y),t=Y^nG(X,Y)$% (большие буквы обозначают вычеты в факторкольце), то мне перестало быть очевидным, почему $%t=XY^nF(X,Y)$%. Но Ваше доказательство понятно.

(16 Мар 3:49) Slater

@Slater: конечно, там самая обычная опечатка, которую я даже не заметил. Разумеется, там должна быть разность y^ng-xf.

(16 Мар 3:57) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,115

задан
16 Мар 0:40

показан
64 раза

обновлен
16 Мар 3:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru