f - непрерывная и нечетная функция такая, что f(2x)=2f(x). Верно ли, что любая такая функция линейна?

задан 17 Мар 17:12

10|600 символов нужно символов осталось
2

Не обязательно. Рассмотрим такой пример. Разобьём множество положительных чисел на промежутки вида (2^k,2^{k+1}], где k пробегает все целые числа. Для k=1 рассмотрим какое-нибудь отображение отрезка [1,2] на себя, при котором концы отрезка неподвижны. Например, положим на этом отрезке f(x)=x^2-2x+2=(x-1)(x-2)+x. Ясно, что все свойства будут выполнены, а функция окажется нелинейной.

Теперь продолжим это отображение на все отрезки вида [2^k,2^{k+1}]. Берём точку x из этого отрезка, делим x на 2^k. Получится точка x/2^k из [1,2]. Применяем к ней построенное выше отображение f. После этого результат домножаем на 2^k. Получится 2^k(x/2^k-1)(x/2^k-2)+x. Легко видеть, что во всех точках вида 2^k значение функций будет равно 2^k, то есть графики отдельных функций соединятся в график непрерывной функции. Осталось положить f(0)=0, что не нарушает непрерывности, так как предел справа в нуле у построенной функции равен нулю. Далее продолжаем функцию по нечётности.

ссылка

отвечен 17 Мар 18:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,220
×589
×51

задан
17 Мар 17:12

показан
82 раза

обновлен
17 Мар 18:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru