задан 17 Мар 17:32

10|600 символов нужно символов осталось
4

Пусть среди чисел $%a_1,...,a_n$% нет нуля. По теореме о полной сумме вычетов $%\sum\limits_{k=1}^n\operatorname{res}\limits_{a_k}\frac{z}{P(z)}+\operatorname{res}\limits_{\infty}\frac{z}{P(z)}=0$%. Поскольку для введенной функции все конечные полюса простые, то каждый вычет равен $%\frac{a_k}{P'(a_k)}$%. Бесконечность для нашей функции -- нуль порядка выше первого, следовательно, вычет равен нулю по известной формуле $%\operatorname{res}\limits_{\infty}f=\lim\limits_{z\to\infty}z(f(\infty)-f(z))$%.

Если какое-то из чисел $%a_k$% равно нулю, то это означает устранимую особенность и вычет в этой точке равен нулю, что позволяет просто дописать данную дробь к остальной сумме (всё равно она 0).

ссылка

отвечен 17 Мар 17:57

@caterpillar, спасибо!

(17 Мар 18:01) WIT

@caterpilkar, извините, это вопрос не по этой задаче, а вообще. Можно ли считать бесконечность изолированной особой точкой?

(18 Мар 1:52) WIT
1

@WIT, бесконечность всегда считается особой, но изолированной может не быть, например, как у функции $%\frac{1}{\sin z}$%, у которой это предельная точка полюсов.

(18 Мар 4:19) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%L_n(x)$% - многочлен Лагранжа для функции $%f(x)=x$% при интерполировании с узлами $%a_1, a_2, ..., a_n,$% т.е. $$L_n (x) = \sum_{k=1}^n f(a_k) \frac{\omega (x)}{(x-a_k) \omega ' (a_k)},$$ где $$\omega (x) = (x-a_1)...(x-a_n).$$ Тогда $$\sum_{k=1}^n \frac{a_k \omega (x)}{(x-a_k) \omega ' (a_k)} = \sum_{k=1}^n \frac{a_k P (x)}{(x-a_k) P ' (a_k)} = x.$$ Отсюда $$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{P ' (a_k)} = \lim \limits_{x \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{a_k P (x)}{x^{n-1}(x-a_k) P ' (a_k)} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x}{x^{n-1}} = 0.$$

ссылка

отвечен 19 Мар 18:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×129

задан
17 Мар 17:32

показан
120 раз

обновлен
19 Мар 18:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru