олимпиада - Функциональное уравнение $%f: \; \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$%

1) Подставим $%x=y=0$%. Получим $%f(0)=0$%. Тогда $%f(1) \ne 0$%.

2) Подставим $%x=1$%. Получим $%f(yf(1)+1)=f(1)f(y)+f(1)$%.

3) Подставляем $%x=f(1)z+1$% в исходное уравнение и пользуемся формулой из предыдущего пункта относительно $%z$%: $$f(f(1)f(z)y+f(1)y+f(1)z+1)=(f(1)f(z)+f(1))(f(y)+1)=\\=f(1)f(z)f(y)+f(1)f(z)+f(1)f(y)+f(1)$$

Правая часть последнего уравнения симметрична относительно $%y,z$%. Поэтому, если в этом уравнении заменить $%y$% на $%z$%, а $%z$% - на $%y$%, то получим $$f(f(1)f(y)z+f(1)z+f(1)y+1)=f(1)f(z)f(y)+f(1)f(z)+f(1)f(y)+f(1)$$ . Тогда $$f(f(1)f(y)z+f(1)z+f(1)y+1)=f(f(1)f(z)y+f(1)y+f(1)z+1)$$. Но из того, что $%f(a)=f(b)$%, следует, что $%a=b$%. Поэтому $$f(1)f(y)z+f(1)z+f(1)y+1=f(1)f(z)y+f(1)y+f(1)z+1$$, откуда $%f(y)=\frac{f(z)}{z}y$%. Подставив в последнее уравнение $%z=1$%, получим $%f(y)=f(1)y$%.

Ответ: $%f(x)=kx$%, где $%k \in \mathbb{Z} \backslash \{ 0\}$%.