геометрия - Доказать теорему Менелая

Доказательство этой теоремы очень много где изложено, но я могу рассказать ещё одно рассуждение, основанное на свойствах геометрических преобразований.

Рассмотрим две гомотетии с центрами $%O_1$%, $%O_2$% и коэффициентами $%k_1$%, $%k_2$% соответственно. Что будет их композицией? Если $%k_1k_2=1$%, то это будет параллельный перенос. Но этот случай сейчас не нужен: предположим, что $%k=k_1k_2\ne1$%. Любой отрезок $%XY$% переходит в параллельный отрезок, длина которого умножается на $%|k|$%, и легко видеть, что прямые $%XX'$%, $%YY'$% не будут параллельны, а потому пересекутся в некоторой точке $%O$%. Отсюда легко прийти к выводу, что композицией двух гомотетий будет гомотетия с центром $%O$% и коэффициентом $%k$%. Кроме всего прочего, точка $%O$% лежит на прямой $%O_1O_2$%, что становится очевидным, если посмотреть на "судьбу" точки $%O_1$% при двух преобразованиях, выполняемых последовательно.

Теперь посмотрим, как отсюда вытекает теорема Менелая. Имеется треугольник $%ABC$%, и пусть точка $%A_1$% делит отрезок $%BC$% в отношении $%\alpha$%, точка $%B_1$% делит отрезок $%CA$% в отношении $%\beta$%, и точка $%C_1$% делит отрезок $%AB$% в отношении $%\gamma$%. Надо доказать, что точки $%A_1$%, $%B_1$%, $%C_1$% лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда $%\alpha\beta\gamma=-1$%. Здесь достаточно доказать одно из двух взаимно обратных утверждений, и второе будет следовать из него ввиду единственности точки, делящей отрезок в заданном отношении, не равном $%-1$%.

Рассмотрим две гомотетии с центрами $%B_1$% и $%A_1$%, коэффициенты которых равны $%-\beta$% и $%-\alpha$% соответственно. Пусть $%\alpha\beta\gamma=-1$%. Тогда $%\alpha\beta=-1/\gamma\ne1$%, то есть композицией гомотетий будет гомотетия с коэффициентом $%-1/\gamma$%. Её центр лежит на прямой $%A_1B_1$%, а также на прямой $%AB$%, поскольку точка $%A$% при первой из гомотетий переходила в $%C$%, а $%C$% при второй гомотетии переходила в $%B$%. Это непосредственно вытекает из факта деления отрезков в заданных отношениях. Если теперь обозначить через $%O$% точку пересечения прямых $%AB$% и $%A_1B_1$%, то из определения гомотетии с центром $%O$% следует, что вектор $%\vec{OB}$% равен вектору $%\vec{OA}$%, умноженному на коэффициент композиции гомотетий, то есть на $%-1/\gamma$%. Но это равносильно тому, что $%\vec{AO}=\gamma\vec{OB}$%. Последнее в силу определения деления отрезка в данном отношении означает, что точка $%O$% делит отрезок $%AB$% в отношении $%\gamma$%. Значит, $%O=C_1$%, но точки $%A_1$%, $%B_1$%, $%O$% лежат на одной прямой по построению, откуда всё следует.

Описанный подход позволяет аналогичным образом доказать теорему Чевы, а также некоторые другие известные факты, относящиеся к геометрии треугольника.