алгебра - Доказать неравенство

Поскольку $%a,b,c$% положительны, неравенство можно прологарифмировать. После деления на $%a+b+c$% в левой части получится выражение $$\frac{a\log a+b\log b+c\log c}{a+b+c}.$$ Оно имеет вид $%\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+\lambda_3f(x_3)$%, где числа $%\lambda_i$% ($%i=1,2,3$%) неотрицательны, и их сумма равна $%1$%. Логарифм здесь можно брать по любому основанию, большему единицы.

Функция $%f(x)=\log x$% выпукла (вверх), и для неё выполнено неравенство Иенсена $$f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\lambda_3x_3)\ge\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+\lambda_3f(x_3),$$ которое несложно доказать по индукции для любого числа слагаемых. В нашем случае $%x_1=a$%, $%x_2=b$%, $%x_3=c$%, $%\lambda_1=a/(a+b+c)$%, $%\lambda_2=b/(a+b+c)$%, $%\lambda_3=c/(a+b+c)$%, то есть получается $$\frac{a\log a+b\log b+c\log c}{a+b+c}\le\log\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\right),$$ что и требовалось.