|
Задание. Найти объем тела, ограниченного цилиндром $%x^2+y^2 = 2ax$%, параболоидом $%z = ((x^2+y^2)/a)$% и плоскостью $%z=0$%. Вопрос. Как найти объем тела? Если можно, то решите, пожалуйста, просто я совсем не понимаю, как это сделать. задан 12 Фев '12 15:14 
Антон Федорцов |
|
По сути в задаче требуется найти объём цилиндрического бруса, который снизу ограничен плоскостью $%Oz$%, сверху - параболоидом $%z=(x^2+y^2)/a$%, по бокам - собственно, цилиндром $%x^2+y^2 = 2ax$%. Объём цилиндрического бруса легко найти с помощью двойного интеграла, который в данном случае нужно взять по проекции тела на плоскость $%xOy$% - круг радиуса a с центром в точке $%(a, 0)$%. Ну, а далее просто техника вычисления двойного интеграла. $$\iint_D {\frac{x^2+y^2}{a}dxdy}$$ двойной интеграл по области D (собственно проекция-круг) от функции $%(x^2+y^2)/a$%. Перейдём к полярным координатам координатам: $$\iint_D \frac{r^3}{a} drd\varphi $$ ($%r^3$% - т. к. $%x^2+y^2 = r^2$%, $%r$% - якобиан). Данный $$\iint = \frac{1}{a} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{2 a cos(\varphi)} r^3dr d\varphi = $$ где первые два параметра - это пределы интегрирования $$ = 4(a^3)\ast \int_{-\pi/2}^{\pi/2} cos(\varphi)^4d\varphi = 4a^3 \ast (1/32) \ast 6 \ast \pi = 3/4 \ast \pi \ast a^3$$ отвечен 12 Фев '12 16:26 
onesickbastard Я вам очень благодарен за столь отличное объяснение! Но вы не могли бы начертить график?
(12 Фев '12 16:42)
Антон Федорцов
Я не могу передавать изображения, т. к. мало очков уважения. Дайте адрес мыла или ещё чего.
(12 Фев '12 17:40)
onesickbastard
|
|
Почему интеграл по $%\phi$% берется от $%-\pi$% до $%\pi$%? Ведь круг D смещен вправо и находится в правой полуплоскости. Так что $%\phi$% меняется от $%-\pi/2$% до $%\pi/2$%. отвечен 18 Фев '12 8:57 
DocentI Docentl прав. Вроде исправил.
(18 Фев '12 17:58)
onesickbastard
Права ;-)) I - значит, Ирина
(18 Фев '12 23:32)
DocentI
|