Задание. Найти объем тела, ограниченного цилиндром $%x^2+y^2 = 2ax$%, параболоидом $%z = ((x^2+y^2)/a)$% и плоскостью $%z=0$%.

Вопрос. Как найти объем тела? Если можно, то решите, пожалуйста, просто я совсем не понимаю, как это сделать.

задан 12 Фев '12 15:14

изменен 12 Фев '12 18:27

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

По сути в задаче требуется найти объём цилиндрического бруса, который снизу ограничен плоскостью $%Oz$%, сверху - параболоидом $%z=(x^2+y^2)/a$%, по бокам - собственно, цилиндром $%x^2+y^2 = 2ax$%. Объём цилиндрического бруса легко найти с помощью двойного интеграла, который в данном случае нужно взять по проекции тела на плоскость $%xOy$% - круг радиуса a с центром в точке $%(a, 0)$%. Ну, а далее просто техника вычисления двойного интеграла.

$$\iint_D {\frac{x^2+y^2}{a}dxdy}$$

двойной интеграл по области D (собственно проекция-круг) от функции $%(x^2+y^2)/a$%. Перейдём к полярным координатам координатам:

$$\iint_D \frac{r^3}{a} drd\varphi $$

($%r^3$% - т. к. $%x^2+y^2 = r^2$%, $%r$% - якобиан). Данный

$$\iint = \frac{1}{a} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{2 a cos(\varphi)} r^3dr d\varphi = $$

где первые два параметра - это пределы интегрирования

$$ = 4(a^3)\ast \int_{-\pi/2}^{\pi/2} cos(\varphi)^4d\varphi = 4a^3 \ast (1/32) \ast 6 \ast \pi = 3/4 \ast \pi \ast a^3$$

ссылка

отвечен 12 Фев '12 16:26

изменен 18 Фев '12 17:57

Я вам очень благодарен за столь отличное объяснение! Но вы не могли бы начертить график?

(12 Фев '12 16:42) Антон Федорцов

Я не могу передавать изображения, т. к. мало очков уважения. Дайте адрес мыла или ещё чего.
Вообще, неплохая штука wolframalpha.com

(12 Фев '12 17:40) onesickbastard
10|600 символов нужно символов осталось
1

Почему интеграл по $%\phi$% берется от $%-\pi$% до $%\pi$%? Ведь круг D смещен вправо и находится в правой полуплоскости. Так что $%\phi$% меняется от $%-\pi/2$% до $%\pi/2$%.

ссылка

отвечен 18 Фев '12 8:57

Docentl прав. Вроде исправил.

(18 Фев '12 17:58) onesickbastard

Права ;-)) I - значит, Ирина

(18 Фев '12 23:32) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×923
×624

задан
12 Фев '12 15:14

показан
2571 раз

обновлен
18 Фев '12 23:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru