Навеяно соседней темой. Задача такая: найти функцию, конформно отображающую комплексную плоскость с разрезом по дуге окружности $%|z|=1$%, лежащей в верхней полуплоскости, на круг $%|w|<1$% так, чтобы выполнялись условия $%w(\infty)=\infty$% и $%w'(\infty)>0$%. Есть ответ: $%w=\dfrac{\sqrt{z+1}+\sqrt{z-1}}{\sqrt{z+1}-\sqrt{z-1}}$%.

Вопрос, собственно, такой: как вообще решать такие задачи с условиями на бесконечности (или в любых других точках, отличных от центра круга), есть ли общий способ?

задан 26 Мар '19 18:16

изменен 29 Мар '19 13:03

@caterpillar, я могу ошибаться, но вроде приведённое отображение является ответом топика про отображение полукруга на круг (из Евграфова)...

А про отображение плоскости с разрезом по дуге на внешность круга есть в Лаврентьеве, Шабате (стр. 148-149)... там вроде бесконечность остаётся на месте...

(26 Мар '19 19:25) all_exist

хм... присмотревшись к ответам, вижу, что отображение тоже самое, что в Лаврентьеве, Шабате... (((

(26 Мар '19 19:29) all_exist

@all_exist, меня это тоже несколько обескураживает, но данный ответ вообще в точности совпадает с ответом для той темы. В принципе, это неудивительно, в Евграфове полно опечаток в ответах, да и в заданиях (что ничуть не умаляет его достоинств, задачник -- отличный!). Да и чёрт бы с ними, с этими опечатками, как сам ответ-то проверить? В других случаях всё понятно, что на что раскладывается, композиции каких отображений берутся, а тут два разных корня, под один загонять нельзя, что делать, вообще непонятно. За ссылку спасибо, почитаю.

(26 Мар '19 19:34) caterpillar

@all_exist, да, в Лаврентьеве такой же ответ (может, с точностью до знаков).. Да и притом всё окончательно свелось к обратной к функции Жуковского. Но неужели она так работает?

(26 Мар '19 19:47) caterpillar

Но неужели она так работает? - давно это было... (((

(26 Мар '19 19:55) all_exist

Что я делаю не так? - может там ветви коня надо указывать...

(26 Мар '19 20:00) all_exist

Типа у разных корней разные ветви? Я тоже так и думал, но у Лаврентьева там всё под один корень загнано получилось, до того, как они это упростили до обратного Жуковского.

(26 Мар '19 20:03) caterpillar
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
2

Скорее всего, условие задачи некорректно, ибо бесконечная точка лежит в области и при конформном отображении она должна перейти куда-то внутрь круга, т.е. никак не останется неподвижной. Поэтому далее приведено моё решение для случая, когда отображать надо на внешность круга c отслеживанием значения функции и производной на бесконечности:

  1. Отображение $%z_1=\dfrac{z+1}{z-1}$% переводит исходный разрез по дуге в разрез по мнимой нижней полуоси. При этом $%z_1(\infty)=1$%.
  2. $%z_2=\sqrt{z_1}$% -- разрез переходит в прямую под углом $%\dfrac{3\pi}{4}$%, а область -- в область выше данной прямой. Ветвь такова, что $%z_2(1)=1$%.
  3. $%z_3=\dfrac{z_2+i}{z_2-1}$% переводит полученную область во внешность единичного круга с центром в нуле, $%z_3(1)=\infty$%.

Итого получилось отображение $$w=\dfrac{\sqrt{\dfrac{z+1}{z-1}}+i}{\sqrt{\dfrac{z+1}{z-1}}-1}.$$

Теперь надо его поправить так, чтобы отслеживать условие $%w'(\infty)>0$%. Для этого введём постоянный множитель, а потом упростим выражение:$$w=a\dfrac{\sqrt{\dfrac{z+1}{z-1}}+i}{\sqrt{\dfrac{z+1}{z-1}}-1}=a\dfrac{\sqrt{z+1}+i\sqrt{z-1}}{\sqrt{z+1}-\sqrt{z-1}}=\frac{a}{2}(1+i)(z+\sqrt{z+1}\sqrt{z-1})+\frac{a}{2}(1-i).$$

Тогда $%w'(z)=\frac{a}{2}(1+i)\left(1+\frac{1}{2}\sqrt{\dfrac{z-1}{z+1}}+\frac{1}{2}\sqrt{\dfrac{z+1}{z-1}}\right)$%, Откуда $%w'(\infty)=a(1+i)$%. Условие $%w'(\infty)>0$% будет выполнено, если взять $%a=\dfrac{1-i}{\sqrt2}=e^{-\dfrac{\pi i}{4}}$%. При этом круг останется на месте. Окончательный ответ: $$w=\dfrac{e^{-\frac{\pi i}{4}}\sqrt{z+1}+e^{\frac{\pi i}{4}}\sqrt{z-1}}{\sqrt{z+1}-\sqrt{z-1}}.$$

Вроде бы получилось даже более-менее алгоритмично, но с ответом не сходится. Задача из соседней темы (в переформулировке внешность полукруга отобразить на внешность круга) будет решаться аналогично.

ссылка

отвечен 27 Мар '19 16:25

изменен 29 Мар '19 13:05

@falcao,@all_exist, мне тут подумалось, а не является ли условие данной задачи вообще некорректным? Ведь если бесконечная точка изначально лежит в нашей области, то при конформном отображении на круг, она обязана будет попасть внутрь круга. Как она вообще может остаться неподвижной-то?

(28 Мар '19 15:43) caterpillar
2

@caterpillar, вероятно в Вашем случае, чтобы условия на бесконечности имели смысл, надо отображать на внешность круга...

(28 Мар '19 20:00) all_exist

@caterpillar: из общих соображений понятно, что отображений здесь много, поэтому совпадения с другим вариантом ответа может и не быть.

(29 Мар '19 14:31) falcao

@falcao, да, это понятно, я к тому, что приведённый в задачнике ответ никак не может быть правильным, ибо если проверять тот ответ, то получается не круг, а луночка.

(29 Мар '19 14:35) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
0

Немного поразмыслив над остатками университетского курса, задержавшимися в голове, родилась такая мысль (может и неправильная)...

Пусть ограниченная область $%D$% отображается на единичный круг... и есть условия сохранения бесконечно удалённой точки и иже с ними...

1) Строим какое-нибудь отображение области на круг... бесконечность переходит в точку $%A$%...

2) Выполняем инверсию относительно единичной окружности... точка $%A$% переходит в $%z_0$%...

3) Известно, что можно конформно отобразить круг $%|z| < 1$% на круг $%|w| < 1$% с выполнением условий $%w(z_0)=w_0$% и $%\arg w'(z_0) = \alpha$%... То есть можно $%z_0$% отобразить в нуль...

4) Теперь снова делаем инверсию и нуль переходит в бесконечность...

Ну, что-то такое...

ссылка

отвечен 26 Мар '19 19:50

@all_exist: при обсуждении в предыдущем топике как раз возникала та проблема, что бесконечность могла переходить на границу круга. Этого в принципе можно избежать, как стало сейчас понятно, но требуются какие-то специальные средства, то есть какая попало функция не подходит.

(26 Мар '19 20:10) falcao

Эммм... ну, есть же принцип соответствия границ...

может мы просто не те отображения рассматриваем... ))))

(26 Мар '19 20:23) all_exist

@all_exist: в прошлой записи на эту тему появление точки на границе круга вроде как имело место.

(26 Мар '19 20:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×382
×177
×5

задан
26 Мар '19 18:16

показан
820 раз

обновлен
29 Мар '19 14:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru