Семь ребер четырехугольной пирамиды имеют одинаковую длину, а восьмое ребро избрано так, чтобы объем пирамиды имел максимальное значение. Найти объем этой пирамиды.

задан 27 Мар 21:10

Хорошая задача. Я, вроде бы, её решил, но надо вычисления проверить. Завтра изложу, если за это время никто не поместит решение.

(28 Мар 2:28) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рёбра, имеющие одинаковую длину (их будем считать единичными) назовём обычными, а оставшееся ребро назовём особым. Рассмотрим два случая: когда особое ребро находится среди боковых, и когда оно лежит в основании.

В первом случае основанием является ромб со стороной 1, а вершина $%S$% пирамиды находится на расстоянии 1 от трёх вершин ромба $%A$%, $%B$%, $%C$%. Сам ромб обозначим $%ABCD$%, и пусть $%\alpha$% -- угол при основании равнобедренного треугольника $%ABC$% с вершиной $%B$%.

По теореме синусов, $%2R\sin\alpha=1$%, где $%R$% -- радиус окружности, описанной около $%ABC$%. Площадь основания равна $%S=\sin2\alpha$%, а высота пирамиды по теореме Пифагора равна $%\sqrt{1-R^2}$%, где $%R < 1$%, то есть $%\sin\alpha > \frac12$%, откуда $%\alpha\in(\frac{\pi}6,\frac{\pi}2)$%. Объём пирамиды равен $%V=\frac13Sh$%, поэтому квадрат объёма равен $%V^2=\frac49\sin^2\alpha\cos^2\alpha(1-\frac1{4\sin^2\alpha})=\frac19(4(1-t)t-t)=\frac19(3t-4t^2)$%, где $%t=\cos^2\alpha$%.

Из соображений производной ясно, что максимум объёма достигается при $%t=\frac38$%, и получается $%V=\frac14$%.

Теперь рассмотрим второй случай, когда $%S$% равноудалена от вершин основания. Тогда относительно основания можно описать окружность радиуса $%R$%. Три стороны основания равны 1, а четвёртую обозначим через $%x$%. В основании лежит равнобочная трапеция. Пусть $%\alpha$% -- угол между боковой стороной и большим основанием. Из условия $%R < 1$% следует, что $%\alpha > \frac{\pi}3$%, а большее основание равно $%x$%. Легко понять, что $%x=1+2\cos\alpha$%, а высота трапеции есть $%\sin\alpha$%, откуда площадь основания равна $%S=\sin\alpha(1+\cos\alpha)$%.

Наконец, диагональ трапеции является биссектрисой острого угла, откуда $%2R\sin\frac{\alpha}2=1$%. Тем самым, $%R^2=\frac1{4\sin^2\frac{\alpha}2}=\frac1{2(1-\cos\alpha)}$%. Высота пирамиды, как и ранее, равна $%\sqrt{1-R^2}$%, и квадрат объёма равен $%V^2=\frac19\sin^2\alpha(1+\cos\alpha)^2(1-\frac1{2(1-\cos\alpha)})=\frac19((1-t^2)(1+t)^2-\frac{(1+t)^3}2)=\frac1{18}(1-2t)(1+t)^3$%, где $%t=\cos\alpha$%.

Производная по $%t$% равна $%(1-8t)(1+t)^2$% без учёта множителя, и максимум объёма достигается при $%t=\frac18$%. Сам объём равен $%V=\frac9{64}\sqrt3$%, что чуть меньше объёма $%\frac14$% из предыдущего пункта. Последний и будет максимальным.

ссылка

отвечен 28 Мар 13:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×480

задан
27 Мар 21:10

показан
167 раз

обновлен
28 Мар 13:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru