Добрый день. Учу тригонометрию и возник вопрос по заданию:

$$2cosx=-√3$$


Решаю: $%cosx=-√3/2$%,

$%x=± π/6+2πn$%, а в ответе: $%x=±5π/6+2πn$%, откуда взялась 5?

задан 16 Май '13 12:31

изменен 16 Май '13 17:50

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%cosx= -√3/2$%

$%x=\pm arccos(-√3/2)+2\pi*k$%

Так как $%arccos(-a)=\pi-arccos(a)$%, то

$% x=\pm(\pi-arccos(√3/2))+2\pi*k$%

$% x=\pm 5\pi/6+2\pi*k $%

ссылка

отвечен 16 Май '13 13:55

изменен 16 Май '13 13:56

10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь лучше решать не по формуле, а пользоваться определением. Тогда не будет сомнений, недоразумений и путаницы. Косинус -- это абсцисса точки единичной окружности. Значит, надо написать уравнение $%x=-\sqrt{3}/2$%. Графиком является прямая, у которой надо посмотреть на точки пересечения с единичной окружностью. Тогда становится ясно, что они получаются при повороте положительного направления оси абсцисс именно на угол $%5\pi/6$%, а также на угол $%-5\pi/6$%.

Все "готовые" формулы так или иначе следуют из рассуждений этого уровня, к которому желательно обращаться в случае сомнений.

ссылка

отвечен 16 Май '13 13:56

Нужно знать определение обратных тригонометрических функций и их основные свойства. Этого достаточно.

(16 Май '13 14:12) Anatoliy

@Anatoliy: если человек знает как следует обратные тригонометрические функции, то он в этом деле уже "ас", и справится с чем угодно. Я исходил из того, что достаточно знать определения косинуса и синуса, и если этим аппаратом умело пользоваться, то можно разрешить любые трудности, хотя и медленнее.

(16 Май '13 15:32) falcao

Если человек знает тригонометрические функции, то он знает и обратные тригонометрические функции. Что касается поворотов в этом вопросе, то здесь могут возникнуть непреодолимые препятствия для решаемого с таким уровнем подготовки.

(16 Май '13 20:01) Anatoliy
1

@Anatoliy: о каком знании Вы говорите? В данном случае речь идёт о человеке, для которого синус суммы равен сумме синусов (см. второй заданный им же вопрос). Я считаю, что в этом случае не до роскоши, и выправлять положение надо через определения. Есть, конечно, другой способ -- заучивание всех формул наизусть, но он очень опасен, потому что без понимания можно всё перепутать. А единичная окружность и повороты -- это источник знания, из которого всё берётся. Если эту тему как следует освоить один раз, то дальше всё должно быть легко.

(17 Май '13 11:40) falcao

Ну, и где же здесь определения? Где прямая $%x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$%? Известны -ли автору задачи поворот и его свойства? Что касается "панацеи" в данном случае, то явно она здесь не срабатывает. Благодарностей не надо:).

(17 Май '13 12:27) Anatoliy

@Anatoliy: я когда писал свой ответ, но не видел ещё ни суммы синусов, ни того, что шло далее -- где из уравнения вида $%a+b=-1$% получалось почему-то $%a=b$%. Боюсь, что в таком случае никакая "панацея" не подойдёт, но я исходил как бы из представления, что человек чего-то не знает, и пытался сообщить ему недостающую информацию. Если же задачи решаются по принципу "что хочу, то и ворочу", но не помогут ни арксинусы, ни логарифмы. Что касается общего подхода (с поворотами), то в моём классе основы тригонометрии знали все, а сейчас этим не владеет почти никто, судя по поступающим в вузы.

(17 Май '13 19:30) falcao

Точно (это я про вузы). Меня иногда студенты спрашивали: "А вы случайно не помните, чему равен синус суммы" или даже "синус $%\pi/3$%" :-((
Видимо, им казалось, что эти сведения настолько сложные, что трудно ожидать, что кто-то их вот так, на память может воспроизвести ...

(18 Май '13 2:29) DocentI

@DocentI: тут даже ладно если просто на память -- кто-то это может помнить, а кто-то нет. Или помнить на время сдачи экзаменов, на которых запрещены шпаргалки. Весь ужас в том, что это знание стало чуть ли не "эзотерическим": есть некие "жрецы", которые как-то это всё узнали, а "простым смертным" это всё знать как бы не положено :)

(18 Май '13 6:37) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Значение $%arccos(a)$% берется из промежутка $%[0;\pi].$% Кроме того $%arccos(-a)=\pi-arccos(a),$% значит $%\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})=\pi-\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.$%

ссылка

отвечен 16 Май '13 12:42

Данное правило действует только для отриц. чисел или любых, то есть например: cosx = √2/2, тогда ответ будет = π - π/4 = 3п/4 ?

(16 Май '13 12:49) Владимир777

только для отрицательных и только для функций $%соs x$% и $%ctgx$%

(16 Май '13 13:51) Lyudmyla

Для всех $%a:\quad accos(\frac{\sqrt{2}}{2})=\pi-accos(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\pi-\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.$%

(16 Май '13 14:02) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×916
×913

задан
16 Май '13 12:31

показан
2719 раз

обновлен
18 Май '13 6:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru