а) Верно ли, что существует 130 последовательных натуральных чисел, каждое из которых имеет ровно 900 натуральных делителей? Источник задачи: http://www.239.ru/sites/default/files/userdata/ol239_19.pdf (зад №2 за 8 класс). Мне кажется, что неверно. Среди 130 последовательных натуральных чисел найдётся число, дающее остаток 64 при делении на 128. Но количество делителей такого числа должно быть кратно 7, а 900 этому критерию не соответствует. б) А что, если рассмотреть более общую задачу: Для каких натуральных $%m$% и $%n$% существуют $%m$% последовательных натуральных чисел, каждое из которых имеет ровно $%n$% натуральных делителей? Есть вообще смысл в эту сторону думать, или не стоит? Сразу видно, к примеру, что для нечётных $%n$% решений нет, так как нечётное количество делителей бывает только у квадратов. Может, там ещё какие-нибудь любопытные идеи есть? задан 1 Апр '19 0:59 Казвертеночка |
@Казвертеночка: задача интересная. Для небольших значений она решена, есть также некоторые оценки. В общем виде, наверное, она далека от своего решения. Я нашёл статью, где этот вопрос освещается. Правда, там для чисел с 6 делителями указан, по-моему, неверный пример.
@falcao, про 6 делителей у меня была тема на Едииксине, сейчас поищу...
@falcao, точно! Вот она: https://dxdy.ru/topic104853.html
А вот есть более новая статья. В ней, среди прочего, есть и список нерешённых проблем.
А 6 делителей будет для пяти чисел подряд, начиная с 10093613546512321. В первой из статей опечатка в третьей с конца цифре.
@falcao, большое спасибо!