Найти функция w(z), конформно отображающую полуплоскость Imz > 0, на полуплоскость Imw + Rew > 0, так чтобы w(2i) = 1 + i, arg(w'(2i))= 0. думал что это просто поворот, на -pi/4, но тогда зачем условие, что arg(w'(2i))= 0

задан 2 Апр 17:58

изменен 2 Апр 18:05

поворот - это не единственный вариант отображения полуплоскости $%\text{Im}\;z > 0$% на полуплоскость $%\text{Im}\;z + \text{Re}\;z > 0$% на себя... можно сначала верхнюю полуплоскость отобразить на себя...

(2 Апр 22:20) all_exist

посмотрите вид отображения верхней полуплоскости на себя в учебнике Сидоров, Федорюк, Шабунин, стр. 287, пример 4 ...

(2 Апр 22:29) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
2

Сперва рассмотрим отображение $%z_1=\dfrac{az+b}{cz+d}$% -- оно переводит верхнюю полуплоскость $%\Im z>0$% в верхнюю же полуплоскость $%\Im z_1>0$%. Параметры $%a,b,c,d$% -- действительные, выберем так, чтобы $%z_1(2i)=2i$%, т.е. $%2i=\dfrac{2ia+b}{2ic+d}$%, откуда $%-4c+2id=2ia+b$%. Чтобы условие действительности было выполнено, необходимо $%a=d$%, откуда будет $%b=-4c$%.

Далее, выполним отображение $%w=\dfrac{1}{\sqrt2}e^{-\frac{\pi i}{4}}z_1$%, что осуществит нужный поворот, причём $%w(2i)=1+i$%. Осталось обеспечить условие с производной. Имеем $%w'(z)=\dfrac{1}{\sqrt2}e^{-\frac{\pi i}{4}}\dfrac{ad-bc}{(cz+d)^2}=\dfrac{1}{\sqrt2}e^{-\frac{\pi i}{4}}\dfrac{a^2+4c^2}{(cz+a)^2}$%, откуда $$w'(2i)=\dfrac{a^2+4c^2}{\sqrt2}e^{-\frac{\pi i}{4}}\dfrac{1}{(2ic+a)^2}=\dfrac{a^2+4c^2}{\sqrt2}e^{-\frac{\pi i}{4}}\dfrac{(a-2ic)^2}{(a^2+4c^2)^2}=\dfrac{1}{\sqrt2(a^2+4c^2)}e^{-\frac{\pi i}{4}}(a-2ic)^2.$$ Далее, поскольку $%(a-2ic)^2=(a^2+4c^2)e^{-2i\operatorname{arctg}\frac{2c}{a}}$%, то $%w'(2i)=\dfrac{1}{\sqrt2}e^{-\frac{\pi i}{4}-2i\operatorname{arctg}\frac{2c}{a}}$%. По условию должно быть $%-\frac{\pi}{4}-2\operatorname{arctg}\frac{2c}{a}=0$%, т.е. $%\operatorname{arctg}\frac{2c}{a}=-\frac{\pi}{8}$%, откуда $%\frac{2c}{a}=-\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}=1-\sqrt2$%. Ну и осталось что-то подобрать, например, $%a=1,c=\dfrac{1-\sqrt2}{2}$% и написать окончательный ответ. Надеюсь, в технике нигде не ошибся, но смысл решения ясен.

ссылка

отвечен 3 Апр 18:32

изменен 3 Апр 18:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×340
×3

задан
2 Апр 17:58

показан
103 раза

обновлен
14 Апр 12:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru