|
Постоянно с ним сталкиваюсь. задан 16 Май '13 17:30 
pauld |
|
Основная особенность числа $%e$% в том, что у показательной функции $%y=e^x$% производная равна ей самой. То есть эта функция будет решением дифференциального уравнения $%y'=y$%, имеющего очень простой вид. Таким свойством обладают только функции вида $%y=Ce^x$%, где $%C$% -- константа. Никакие другие показатели степеней этим свойством уже не обладают. Вводить число $%e$% проще всего через "второй замечательный предел", то есть $$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n}\right)^n.$$ Его замечательность в том, что последовательность сходится не к чему-то такому, что равно двум, трём или даже корню из чего-то, или пусть даже к известному на этот момент числу $%\pi$%, а к чему-то принципиально новому, что раньше в школьном курсе не встречалось. Используется число $%e$% очень много где. Примеров можно привести большое количество. Вот, например, такая формула для вычисления факториала (формула Стирлинга): $$n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}e\right)^n.$$ Здесь и число $%\pi$% появляется, и число $%e$%, хотя речь идёт о произведении натуральных чисел. отвечен 16 Май '13 18:44 
falcao |
|
Если говорить только о втором замечательном пределе, его можно вывести из некоторых, весьма простых, предположений. Например, в банк начисляет сложные проценты по вкладу. Через $%n$% начислений вклад умножится на $%(1+p)^n$%, если $%p$% - доля, начисляемая за один раз. Если теперь начислять проценты не дольше, а чаще, получим величину $%(1+p/n)^{n}$%, которая с ростом $%n$% стремится к $%e^p$%. В частности при $%p=1=100\%$% получаем, что в пределе (при непрерывном начислении процентов) вклад увеличится в $%e$% раз. Аналогично можно интерпретировать процесс ... полоскания белья. Только там с каждым разом количество грязи не умножается, а делится на некую величину. Формула получится вида $%e^{-pt}$% отвечен 16 Май '13 21:03 
DocentI |
|
Возьмём производную логарифмической функции: $$d (log_a)x/dx = 1/(xlna)$$. А если применить натуральные логарифмы, ответ зеачительно упрощается: $$d (ln x)/dx = 1/x$$. Очень многие задачи математики и прикладных наук сводятся к экспоненциальным или логарифмическим зависимостям. Поэтому "куда ни плюнь, везде ..." натуральные логарифмы. Потому что они проще выглядят, чем любые другие логарифмы отвечен 16 Май '13 19:55 
nikolaykruzh... |