а) Докажите, что любая непрерывная плоская кривая длины 1 может быть покрыта прямоугольником площади не меньше 0,25.

б) Приведите пример линии длины 1, которую нельзя покрыть прямоугольником площади меньше 0,25.

в) Какова наименьшая площадь прямоугольника, которым может быть покрыта кривая длины $%L$%?

задан 5 Апр '19 16:09

изменен 5 Апр '19 16:21

1

@Казвертеночка: в первом пункте, наверное, не больше?

(5 Апр '19 17:11) falcao

@falcao, именно не меньше. Имеется в виду, что для любой кривой длины 1 найдётся прямоугольник площадью не меньше 0,25, который покроет её.

(5 Апр '19 18:19) Казвертеночка
1

@falcao, я позже перепишу условие и дам ссылку на источник задачи. Там, в источнике вообще первые два пункта противоречили друг другу. А мои попытки исправить положение лишь усугубили загвоздку.

(5 Апр '19 21:10) Пацнехенчик ...
1

@Казвертеночка: кривая предполагается непрерывной, поэтому она есть компакт, и потому ограничена, то есть содержится в некотором круге. Любой круг можно покрыть прямоугольником достаточно большой площади. То есть такая версия совершенно нелогична.

(5 Апр '19 23:40) falcao

@falcao, вот ссылка на источник задачи: http://portal.tpu.ru:7777/SHARED/s/SHAKH/Olimp/%D0%A1%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%BA%201.pdf (стр №13, зад №10)

(5 Апр '19 23:57) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: там написано "площади МЕНЬШЕ 0,25". Так и должно быть. Понятно же, что прямоугольник должен быть маленьким по площади, а большим можно накрыть всегда.

(6 Апр '19 0:06) falcao

@falcao, а разве в этом случае первые два пункта не противоречат друг другу?

(6 Апр '19 0:08) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: противоречат, но понятно, что имелось в виду, и как надо исправить -- в первом пункте неравенство должно быть нестрогим, что даёт "не больше" вместо "меньше".

(6 Апр '19 0:28) falcao

@falcao, На самом деле противоречия там нет, ибо в пункте а) речь идёт о непрерывной кривой, а в пункте б) - о произвольной линии.

(6 Апр '19 0:57) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: удивительно, как много путаницы может вызвать одна не совсем точная фраза.

В пункте б) речь идёт о той же линии, что и в пункте а). Ясно, что если разрешить вместо непрерывных кривых что угодно, то достаточно будет в пункте б) взять две точки на достаточно большом расстоянии.

(6 Апр '19 1:27) falcao

@falcao, ну это только у меня путаница возникла, просто мои мозги не сфокусированы последние пару месяцев.

(6 Апр '19 10:18) Казвертеночка
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
2

Возьмем на этой кривой 2 наиболее удаленные точки - диаметр $%d$%, проведем перпендикуляры к диаметру в этих точках и дорисуем на них минимальный прямоугольник $%(d,h)$%, содержащий нашу кривую. На каждой из сторон этого прямоугольника $%d\ge h$% будет по точке , причем на боковых сторонах $%h $% будут лежать диаметральные точки ( диаметр $%\parallel $% основанию прямоугольника - $%d $%). Эти точки должны быть связаны линией. Минимальная длина этой линии : $%l=\sqrt {4h^2+d^2} \le L $%

Поэтому : $%S= d\cdot h \le\dfrac {1}{2}\sqrt {d^2 (L^2-d^2)}\le \dfrac {L^2}{4}$% ( этой площади всегда будет достаточно).

Пример , когда нельзя покрыть прямоугольником меньшей площади очевиден: кривая соединяющая последовательно 3 точки $% (0,0),(1,1),(2,0)$%

ссылка

отвечен 6 Апр '19 9:50

изменен 6 Апр '19 10:07

@Sergic Primazon, большое спасибо!

(6 Апр '19 10:17) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,401
×48
×8
×2
×1

задан
5 Апр '19 16:09

показан
295 раз

обновлен
6 Апр '19 10:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru