|
1.На плоскости заданы пять точек, никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько прямых задают эти точки? 2.А если число точек равно n и никакие три из них не лежат на одной прямой, то сколько прямых будут задавать эти точки? Посчитайте сначала их число для n=6 и n=7. До этого была похожая задача про четыре точки. После того как я просчитал случай для пяти точек(ответ:10), то я решил, что в данном случае имеет место последовательность треугольных чисел. Следовательно, при n=6 ответ будет 15. А при n=7 ответ будет равен 21. Что касается общего случая для n(при условии, что это натуральное число равное единице или больше), то ответом будет треугольное число, чей порядковый номер будет равен n. У меня все верно? Я ничего не напутал? задан 16 Май '13 20:02 
I_Robot |
|
Да, всё верно. Если мы проводим прямую $%AB$%, то точку $%A$% выбираем $%n$% способами, а точку $%B$%, отличную от $%A$%, выбираем $%n-1$% способом. По правилу произведения получается $%n(n-1)$% способов, но это будет удвоенное число прямых, так как $%AB$% и $%BA$% дают одну и ту же прямую. Других совпадений нет, так как никакие три точки на одной прямой не лежат. Значит, ответом будет $%n(n-1)/2$%. При естественной нумерации это будет $%n-1$%-е треугольное число, то есть сумма первых $%n-1$% натуральных чисел. Тут ещё возможно такое рассуждение, что когда добавляется новая точка, то её соединяют со всеми предыдущими, что даёт $%n$% новых прямых, то есть к предыдущей сумме добавляется слагаемое $%n$%, и получается $%n$%-е треугольное число для случая $%n+1$% точек. отвечен 16 Май '13 20:15 
falcao |
|
$%K=\frac{n(n-1)}{2}.$% Все верно. Через каждую из $%n$% точек можно провести $%n-1$% прямую, но при этом число различных прямых будет в два раза меньше. отвечен 16 Май '13 20:06 
Anatoliy Почему n-1(речь идет об порядковом номере треугольного числа), вроде бы все верно просто для n? Например, если у меня одна линия, то число пересечений будет равно нулю. А нуль является треугольным числом.
(16 Май '13 20:19)
I_Robot
@I_Robot: Нуль является нулевым треугольным числом, а не первым. Мы его либо не учитываем, беря 1, 3, 6, 10, ..., где за $%n$%-е принимаем сумму $%n$% слагаемых, либо учитываем, но тогда присваиваем ему номер 0, а не 1 (сумма 0 слагаемых равна нулю).
(16 Май '13 20:31)
falcao
Надо же, я думал только программисты начинают счет с нуля ;) И часто в математике начинают счет с нуля?
(16 Май '13 20:37)
I_Robot
Всегда выбирается то, что удобнее. Например, в последовательности частичных сумм ряда обычно полагают $%S_0=0$%, $%S_1=a_1+\cdots+a_n$%, хотя сами члены ряда "классически" нумеруются с единицы. Если речь о производящих функциях, то члены последовательностей принято нумеровать с нуля, так как производящий ряд имеет вид $%a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+\cdots$%.
(16 Май '13 20:50)
falcao
|