Прошу меня проверить. Задача: Какое наибольшее число точек пересечения может получиться у четырех прямых:

a)лежащих в одной плоскости.

б)не лежащих в одной плоскости?

Мой ответ:

a) шесть точек(проверял с помощью рисунка)

б)Ноль. По крайней мере я что-то не могу вообразить такую ситуацию, чтобы в пространстве могли существовать две прямые, которые имели бы общую точку, но при этом для которых нельзя было бы найти общую плоскость.

задан 16 Май '13 20:14

10|600 символов нужно символов осталось
1

а) Верно

б) Если три прямые лежат в одной плоскости, то они могут образовывать три точки пересечения. Четвёртая прямая в этой плоскости уже не лежит, но она может пересекать какую-то одну из прямых в новой точке, то есть получится 4 точки пересечения. Это число максимально, так как если точек пересечения 5 или 6, то на некоторой прямой $%a$% имеются три точки пересечения. Через них проходят какие-то три прямые. Если бы они давали ещё 2 точки пересечения, то одна из них, $%b$%, пересекалась бы с двумя другими, и тогда все 4 прямые оказались бы в одной плоскости -- проходящей через $%a$% и $%b$%. То есть максимум равен 4.

ссылка

отвечен 16 Май '13 20:26

Ой блин, я неправильно понял условия задачи! Я думал, что имеется в виду, что ни одна из прямых не должна лежать на одной плоскости с другими прямыми. А все оказалось значительно проще.

(16 Май '13 20:29) I_Robot

@I_Robot: ситуация, на которую Вы подумали, должна была бы передаваться другой фразой: "никакие две из прямых не лежат в одной плоскости". Тогда ответом был бы 0. Здесь как бы не все случаи есть своя подходящая фраза. Например, "дано $%n$% точек, не лежащих на одной прямой" -- это одно, а "дано $%n$% точек, среди которых никакие три не лежат на одной прямой" -- это другое.

(16 Май '13 20:34) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

а) Правильно. Рекуррентная формула $%K_{pl}(n)=K_{pl}(n-1)+n-1.$%

б) Четыре точки. Формула $%K_{pr}(n)=K_{pl}(n-1)+1.$%

ссылка

отвечен 16 Май '13 20:22

изменен 16 Май '13 20:30

"Четыре точки" Не понимаю, как такое вообще возможно?? Я неправильно понимаю условие задачи? Или может быть я неправильно понимаю само понятие "прямые лежащие на одной плоскости"?

(16 Май '13 20:25) I_Robot

@I_Robot: понятие "четыре прямые лежат в одной плоскости" означает, что существует такая плоскость, в которой они все одновременно лежат.

(16 Май '13 20:27) falcao

Ясно. Я просто неправильно понял задачу. Но все-таки, верна ли моя мысль про то, что НЕ могут существовать(по крайней мере, в рамках евклидового пространства) две прямые, которые бы имели общую точку, но при этом для которых нельзя было бы найти общей плоскости?

(16 Май '13 20:31) I_Robot

Из аксиом геометрии (включая неевклидову) следует тот факт, что если две прямые имеют общую точку, то существует плоскость, в которой обе они лежат. Доказательство (краткое): пусть прямые пересеклись в точке A. Возьмём на них по точке B и C. Через три точки проходит плоскость. В неё лежит как AB, так и AC -- согласно аксиомам.

(16 Май '13 20:40) falcao

Кажется, что в школьной геометрии - это аксиома.

(17 Май '13 12:41) Anatoliy

@Anatoliy: В учебнике 10-11 класса по геометрии (Атанасян et al) на стр.7 доказывается теорема о том, что через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, причём единственная. Это утверждение не считается аксиомой, оно выводится из других положений.

(17 Май '13 19:38) falcao

Да, в учебнике Атанасяна это теорема, а в учебнике Погорелова - аксиома. По каким учебникам учится этот ученик - неизвестно.

(17 Май '13 21:12) Anatoliy

@Anatoliy: да, действительно так! Я не знал, что у Погорелова берётся за основу другая система аксиом. На мой взгляд, она менее естественная. Сейчас вообще нет единых стандартов, что очень неудобно. В "колмогоровской" программе, кстати, аксиоматика была ближе к той, которая берётся за основу у Атанасяна.

(17 Май '13 22:00) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,395

задан
16 Май '13 20:14

показан
3328 раз

обновлен
17 Май '13 22:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru