Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник, три последовательные стороны которого соответственно равны $%a, b, a$%?

задан 11 Апр 21:22

10|600 символов нужно символов осталось
2

Из общих соображений понятно, что наибольшее значение площади достигается для некоторого четырёхугольника $%ABCD$%, где $%AB=a$%, $%BC=b$%, $%CD=a$%. Если треугольник $%ABC$% зафиксировать, то наибольшее значение площади $%ACD$% достигается при условии, что $%CD$% перпендикулярна $%AC$%. То есть угол $%ACD$% прямой. Аналогично, $%ABD$% прямой. Получается равнобочная трапеция, вписанная в полуокружность, построенную на $%AD$% как на диаметре.

Опустим перпендикуляр $%BE$% на $%AD$%. Пусть $%t$% -- величина (острого) угла $%BAE$%. Тогда $%AE=a\sin t$%, откуда $%AD=2a\sin t+b$%, и средняя линия трапеции равна $%a\sin t+b$%. Высота трапеции равна $%a\cos t$%. Тем самым, площадь равна $%S=a(a\sin t+b)\cos t$%.

Находим производную: $%(\frac{S}a)'=a\cos^2t-(a\sin t+b)\sin t=a\cos2t-b\sin t$%. Она обращается в ноль при $%a(1-2\sin^2t)=b\sin t$%, что имеет место при $%\sin t=\frac{\sqrt{b^2+8a^2}-b}{4a}$%. Нетрудно заметить, что при переходе через эту точку происходит смена знака с "плюса" на "минус", то есть мы имеем дело с точкой максимума. Также понятно, что угол с таким значением существует.

Осталось выразить косинус и подставить в формулу для площади. Получается такой несколько громоздкий ответ, который вряд ли можно упростить: $$S=\frac{(\sqrt{b^2+8a^2}+3b)\sqrt{4a^2-b^2+b\sqrt{b^2+8a^2}}}{8\sqrt2}.$$

ссылка

отвечен 11 Апр 23:18

изменен 12 Апр 0:42

@falcao, круто! Спасибо большое-пребольшое!

(11 Апр 23:22) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: я не предполагал, что ответ будет таким. Поэтому основное время у меня заняла проверка (+оформление). Но задача, тем не менее, неплохая по причине естественности её формулировки.

(11 Апр 23:26) falcao
1

@falcao, у меня, вероятно, ответ будет тем же самым, но реализация попроще. После того как мы установили, что ABCD вписанный, обозначим AD=2R, тогда AC=BD легко считается по теореме Пифагора, а для определения 2R пишем теорему Птолемея и решаем полученное квадратное уравнение. Ну а дальше - стандарт - площадь равнобокой трапеции, у которой есть и основания, и боковая сторона...

(11 Апр 23:31) knop
1

@falcao: Опечатка: должно быть "наибольшее значение площади $%ABCD$%".

(11 Апр 23:34) EdwardTurJ
1

@knop: я не думаю, что такой способ будет проще. Я сначала примерно так и пробовал рассуждать, только вместо Птолемея составлял уравнения через подобие треугольников. Они получаются те же самые, и ведут к таким же формулам. Второй способ с тригонометрией мне представляется чуть более простым в плане получения ответа.

@EdwardTurJ: вроде нет опечатки -- я фиксирую ABC, и при этом условии беру наибольшее значение площади треугольника BCD, которое даёт наибольшее значение площади всего ABCD.

(11 Апр 23:51) falcao
2

@falcao: Тогда значение площади треугольника $%ACD$%.

(12 Апр 0:05) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ: да, именно это было надо написать! Ошибся с буквой. Сейчас подправлю.

(12 Апр 0:41) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,039
×4
×2
×1
×1

задан
11 Апр 21:22

показан
107 раз

обновлен
12 Апр 0:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru