Доказать, что $%\cos\left({\dfrac{\pi}{1944}}\right)$% есть число иррациональное.

задан 12 Апр 10:20

10|600 символов нужно символов осталось
3

Предположим противное.
По индукции легко доказать, что $%\cos n\alpha = P_n(\cos \alpha)$%, где $%P_n(x)$% - некий многочлен с целыми коэффициентами.
И следовательно $%\frac{\sqrt 2} 2 = \cos \frac \pi {4} = P_{486}\left(\cos \frac \pi {1944}\right)$% - рационально. Противоречие.

ссылка

отвечен 12 Апр 11:07

изменен 12 Апр 11:09

2

@spades, да там даже индукция не нужна. Если число 1944 заменить на любое натуральное число вида $%2^m\cdot 3^n$%, где $%m\geqslant 2$%, ответ будет тем же. Всё через формулы двойного и тройного угла...

(12 Апр 11:19) Казвертеночка
1

@Казвертеночка, любопытно, ГДЕ ИМЕННО могла проводиться олимпиада 1944 года? СССР бросал все силы на войну с фашизмом, как и вся Европа, так что уж точно не до олимпиад было. А в иных частях Света олимпиады тогда ещё вообще не проводились. По матешу - 5, а по истории - двойка! Причём махровая такая, жирная и гнусная.

(12 Апр 11:24) Пацнехенчик ...
2

@Казвертеночка, я поленился разложить 486 до конца, хотя и понимал, что в таком виде для олимпиадной задачи немного не то. Со степенями двойки и тройки уже норм.

(12 Апр 11:25) spades
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,009
×54
×4
×2
×1

задан
12 Апр 10:20

показан
54 раза

обновлен
12 Апр 11:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru