Пусть $%f_n = \frac{x}{x^2-n^2}, $%к чему стремится $%f_n $% по мере $% g(x) = 3x-1 \quad x > 1 ; x^3 \quad x \leq 1$%
В интернете совсем не нашел литературы, буду очень благодарен, если разберете данный пример.

задан 12 Апр 18:28

@Williams Wol...: непонятно, как функция g(x) задаёт меру. Если это "весовая" функция, и мера множества A равна интегралу от g(x) по A, то x^3 может быть отрицательной, то есть такое правило меру не задаёт. Может быть, всё происходит на ограниченном множестве типа 0<x<=1? В общем, это всё надо уточнить.

(12 Апр 21:55) falcao

g(x) задает меру Лебега-Стилтьеса, по определению m_g([a,b)] = g(b) - g(a), так как g(x) непрерывна справа и монотонно возрастает, все выполняется. Насколько я понимаю.

(12 Апр 23:31) Williams Wol...

@Williams Wol...: да, с таким уточнением задача понятна. Правда, в формулировке желательно сразу называть вещи своими именами, потому что g(x) -- это не сама мера, а лишь функция, её задающая.

(13 Апр 1:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Сперва надо заметить, что последовательность сходится к нулю поточечно. По теореме Рисса из сходимости последовательности по мере следует сходимость почти всюду к тому же самому некоторой подпоследовательности. Тем самым, по мере последовательность может сходиться только к нулю. Тогда для любого $%\sigma>0$% рассмотрим множество $%A=\{x\in\mathbb R:|f_n(x)|\geq\sigma\}$%. Решая неравенство $%\dfrac{|x|}{|x^2-n^2|}\geq\sigma$%, получаем, что $$A=\left[-\dfrac{1+\sqrt{1+4\sigma^2n^2}}{2\sigma},-\dfrac{-1+\sqrt{1+4\sigma^2n^2}}{2\sigma}\right]\cup\left[\dfrac{-1+\sqrt{1+4\sigma^2n^2}}{2\sigma},\dfrac{1+\sqrt{1+4\sigma^2n^2}}{2\sigma}\right].$$

Заметим, что тут меры всех концевых точек равны нулю, поскольку концевые точки не совпадают с точкой 1, поэтому дело можно свести к системе нужных полуинтервалов. Тогда $%\mu(A)$% равна сумме мер каждой из полученных частей. Для первого подмножества выбирается функция $%g(x)=x^3$%, для второго -- $%g(x)=3x-1$% (с учётом того, что при фиксированном $%\sigma$% оно лежит дальше 1, начиная с некоторого номера). Остаётся посчитать предел $%\lim\limits_{n\to\infty}\mu(A)$%. Вроде получается бесконечность, т.е. сходимости по мере нет.

ссылка

отвечен 28 Апр 8:57

изменен 28 Апр 10:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,319

задан
12 Апр 18:28

показан
119 раз

обновлен
28 Апр 10:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru