Я что-то не могу понять задачу. Цитирую :

"Нарисуйте прямую AB. Какую фигуру на прямой АВ образуют все точки Х, для которых:

a)AX меньше или равно АВ

б)АХ больше или равно АВ"

Непонятны следующие моменты:

  1. АХ это отрезок, луч или прямая? Может быть существует какое-нибудь математическое соглашение, которое бы гласило, что если специально не оговорено иное, то по умолчанию надо считать, что речь идет об отрезке?

  2. Как АХ(даже если это прямая) может быть БОЛЬШЕ прямой АВ? Если бы речь шла об отрезке AB, то я бы еще понял. Но ведь это ПРЯМАЯ. Чушь какая-то получается.

  3. Непонятен оборот "все точки Х". По идее одной большой латинской буквой должна обозначаться одна точка. А тут по всей видимости речь идет об множестве точек. Но с другой стороны мы встречаем упоминание об АХ, которое заставляет нас думать, что Х это просто точка. Но тогда остается непонятен смысл слов "все точки Х". Хотя может быть это просто опечатка, и имелся в виду АХ? Но с другой стороны, у меня в учебнике есть несколько похожих задач. И там тоже речь идет об Х. Не слишком ли систематичная опечатка? В общем, чертовщина.

  4. Условия "меньше или равно", "больше или равно" выглядят странно. Разве нельзя было просто написать третий пункт, который бы гласил что-то вроде "АХ равно АВ". Я просто не вижу смысла в таком построении условия. Хотя это уже капля в море. Я надеюсь, что если у меня получится решить затруднения связанные с другими пунктами, то этот решится автоматически.

задан 17 Май '13 15:18

изменен 17 Май '13 16:43

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Прежде всего, я всецело согласен с @DocentI по поводу обозначений: я сам учился по той же "колмогоровской" программе, в которой для прямой, луча, отрезка и расстояния были разные обозначения. К сожалению, от этой программы впоследствии отказались, что повлекло за собой много неприятных последствий.

Так или иначе, в случае нынешней программы, в которой обозначения отождествили, всегда нужно исходить из контекста. Если заранее известно, что $%AX$% может означать и прямую, и расстояние между точками, и что-то ещё, то среди нескольких токований приходится отбирать одно подходящее. Поскольку в задаче говорится "меньше или равно", то речь однозначно идёт о длинах отрезков, то есть о расстояниях между точками. Вы совершенно правильно заключили, что прямые не могут быть "меньше либо равны" друг друга, и оставалось лишь "методом исключения" прийти к единственно возможному варианту, то есть к расстояниям.

По поводу пункта 3: здесь речь идёт обо одной из самых распространённых математических конструкций, к которой следует привыкнуть. Речь идёт вот о какой ситуации: рассматривается множество всех $%X$% (например, точек), обладающих некоторым свойством, которое мы умеем проверять. Тогда процедура выглядит так: рассматриваем каждую точку $%X$% в отдельности, решаем для неё вопрос о том, обладает ли она указанным свойством, и если обладает, то включаем её в ту фигуру, которую требуется построить. А если не обладает, то не включаем. После чего следует мысленно представить себе, что за фигура получилась.

Рассмотрим такой пример. Пусть дано множество чисел $%A=\{1,2,4,5,10,12,16,24\}$%. Требуется указать множество всех таких $%x$% из $%A$%, для которых выполнено каждое из условий: 1) $%x$% чётно; 2) сумма цифр числа $%x$% нечётна. Понятно, что если мы рассмотрим последовательно все случаи, беря $%x=1$%, $%x=2$%, ..., $%x=24$%, то в каждом таком отдельном случае можем проверить, выполнены ли оба указанных условия. Число $%x=1$% не подходит -- оно нечётно. Число $%x=2$% чётно, но у него чётная сумма цифр, а нам нужна нечётная. И так далее, и в итоге у нас будет отобрано три числа, и множество, составленное из них надо указать в ответе. Это будет $%\{10,12,16\}$%. Так же точно поступаем с точками и со всем остальным.

Проблема может состоять в том, что чисел у нас в примере конечное число, а точек на прямой бесконечно много. Но их всё равно можно анализировать "скопом". Например, если Вы посмотрите на рисунок, сделанный @Anatoliy, для пункта а) задачи, то там надо мысленно поместить "пробную" точку $%X$% на каждый из промежутков, и решить вопрос о том, подходит ли такая точка. Тогда станет ясно, что точки, лежащие строго левее $%A_1$% не подходят, и то же верно для точек, лежащих строго правее $%B$%. А все остальные точки подойдут, причём здесь можно отдельно проанализировать граничные точки промежутков.

Условия типа "меньше или равно" в математике встречаются очень часто, и к ним тоже надо привыкнуть. Автор задачи может по своему усмотрению задать такое условие, или сказать "строго меньше", или что-то ещё. Для случая, когда расстояние $%AX$% меньше или равно расстояния $%AB$% (можно было бы вместо этого сказать "не больше"), мы получаем отрезок, то есть вполне естественную геометрическую фигуру. При замене на слово "меньше" мы получили бы открытый интервал, то есть отрезок без учёта его концов. А если бы было слово "равно", то мы получили бы сами эти концы.

Подобного рода вещи возникают постоянно при решении уравнений и неравенств, когда на числовой прямой требуется строить те или иные множества.

ссылка

отвечен 17 Май '13 19:23

10|600 символов нужно символов осталось
1

"Нарисуйте прямую AB. Какую фигуру на прямой АВ образуют все точки Х, для которых:

a)AX меньше или равно АВ

б)АХ больше или равно АВ"

Из условия следует, что А и В - точки прямой. Множество точек прямой, состоящего из точек находящихся между точками А и В, а также точек А и В, называют отрезком. Расстоянием между точками А и В называют длину отрезка АВ, поэтому "AX меньше или равно АВ" следует понимать, что расстояние между точками А и Х меньше или равно расстоянию между точками А и В. Далее все ясно из рисунка ($%AA_1=AB$%, точки $%B$% и $%A_1$% принадлежат искомым множествам).

alt text

Ответ. a) отрезок $%A_1B$%; две полупрямые (луча).

ссылка

отвечен 17 Май '13 16:29

изменен 17 Май '13 16:38

Спасибо за решение(хотя я его вообще-то не просил), но мне бы хотелось, чтобы вы ответили на мои вопросы.

(17 Май '13 16:46) I_Robot

Мне кажется, что я на достаточном уровне ответил на Ваши вопросы. Но, самое интересное, что меня об этом не просили:). Извините, больше не буду:(.

(17 Май '13 16:51) Anatoliy
1

Вы правы. Вам действительно КАЖЕТСЯ.

(17 Май '13 17:09) I_Robot

Хороший! Можете не волноваться. Оставлю решение понятливым участникам форума.

(17 Май '13 17:30) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
0

Прямая задана двумя точками... но ими же может быть задан и отрезок... и, видимо, когда идёт речь о сравнении $%AB$% и $%AX$% идёт речь именно об отрезках...

Непонятен оборот "все точки Х" - имеются ввиду всевозможные точки $%X$%... то есть описывается множество точек... наподобие того как описывается множество $%[2; +\infty)$% - множество всевозможных значений $%x$% больше либо равных 2...

который бы гласил что-то вроде "АХ равно АВ". - ну, было дано два разных задания... а не их пересечение...

ссылка

отвечен 17 Май '13 16:22

"Ими же может быть задан и отрезок" Святая правда. И это тоже порождает путаницу. Ибо приходится разбираться, основываясь чисто на контексте, что именно имелось в виду.

"наподобие того как описывается множество ..." Не понял, что это значит?

(17 Май '13 16:45) I_Robot

Когда я училась в школе, как раз были времена "Колмогоровской строгости", где вместо "равенство фигур" говорили "конгруэнтность", прямую обозначали $%(AB)$%, отрезок - $%[AB]$%, а расстояние между точками $%A$% и $%B$% - через $%|AB|$%. Допускаю, что некоторым ученикам это было сложно. По крайней мере, слово "конгруэнтный". Но путаницы было меньше.
В вашем задании сравниваются, конечно, длины отрезков, это следует из контекста.

(17 Май '13 17:56) DocentI

Кстати, а как во времена "Колмогоровской строгости" обозначали луч?

(23 Май '13 0:29) I_Robot
1

I_Robot: луч обозначался в виде $%[AB)$%, что наглядно, и очень удобно.

(23 Май '13 0:52) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,203

задан
17 Май '13 15:18

показан
1226 раз

обновлен
23 Май '13 0:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru