геометрия - 7 класс. Точка Х на прямой

Прежде всего, я всецело согласен с @DocentI по поводу обозначений: я сам учился по той же "колмогоровской" программе, в которой для прямой, луча, отрезка и расстояния были разные обозначения. К сожалению, от этой программы впоследствии отказались, что повлекло за собой много неприятных последствий.

Так или иначе, в случае нынешней программы, в которой обозначения отождествили, всегда нужно исходить из контекста. Если заранее известно, что $%AX$% может означать и прямую, и расстояние между точками, и что-то ещё, то среди нескольких токований приходится отбирать одно подходящее. Поскольку в задаче говорится "меньше или равно", то речь однозначно идёт о длинах отрезков, то есть о расстояниях между точками. Вы совершенно правильно заключили, что прямые не могут быть "меньше либо равны" друг друга, и оставалось лишь "методом исключения" прийти к единственно возможному варианту, то есть к расстояниям.

По поводу пункта 3: здесь речь идёт обо одной из самых распространённых математических конструкций, к которой следует привыкнуть. Речь идёт вот о какой ситуации: рассматривается множество всех $%X$% (например, точек), обладающих некоторым свойством, которое мы умеем проверять. Тогда процедура выглядит так: рассматриваем каждую точку $%X$% в отдельности, решаем для неё вопрос о том, обладает ли она указанным свойством, и если обладает, то включаем её в ту фигуру, которую требуется построить. А если не обладает, то не включаем. После чего следует мысленно представить себе, что за фигура получилась.

Рассмотрим такой пример. Пусть дано множество чисел $%A=\{1,2,4,5,10,12,16,24\}$%. Требуется указать множество всех таких $%x$% из $%A$%, для которых выполнено каждое из условий: 1) $%x$% чётно; 2) сумма цифр числа $%x$% нечётна. Понятно, что если мы рассмотрим последовательно все случаи, беря $%x=1$%, $%x=2$%, ..., $%x=24$%, то в каждом таком отдельном случае можем проверить, выполнены ли оба указанных условия. Число $%x=1$% не подходит -- оно нечётно. Число $%x=2$% чётно, но у него чётная сумма цифр, а нам нужна нечётная. И так далее, и в итоге у нас будет отобрано три числа, и множество, составленное из них надо указать в ответе. Это будет $%\{10,12,16\}$%. Так же точно поступаем с точками и со всем остальным.

Проблема может состоять в том, что чисел у нас в примере конечное число, а точек на прямой бесконечно много. Но их всё равно можно анализировать "скопом". Например, если Вы посмотрите на рисунок, сделанный @Anatoliy, для пункта а) задачи, то там надо мысленно поместить "пробную" точку $%X$% на каждый из промежутков, и решить вопрос о том, подходит ли такая точка. Тогда станет ясно, что точки, лежащие строго левее $%A_1$% не подходят, и то же верно для точек, лежащих строго правее $%B$%. А все остальные точки подойдут, причём здесь можно отдельно проанализировать граничные точки промежутков.

Условия типа "меньше или равно" в математике встречаются очень часто, и к ним тоже надо привыкнуть. Автор задачи может по своему усмотрению задать такое условие, или сказать "строго меньше", или что-то ещё. Для случая, когда расстояние $%AX$% меньше или равно расстояния $%AB$% (можно было бы вместо этого сказать "не больше"), мы получаем отрезок, то есть вполне естественную геометрическую фигуру. При замене на слово "меньше" мы получили бы открытый интервал, то есть отрезок без учёта его концов. А если бы было слово "равно", то мы получили бы сами эти концы.

Подобного рода вещи возникают постоянно при решении уравнений и неравенств, когда на числовой прямой требуется строить те или иные множества.