alt text

задан 13 Апр 13:37

10|600 символов нужно символов осталось
1

К условию было бы не лишне добавить пояснение, что символ $%\equiv$% означает элементарную эквивалентность моделей. Из контекста догадаться нетрудно, но надо понимать, что это обозначение не всеобще применяемое, а "локальное".

Где-то на эту тему задачи уже были, но по поводу пункта б) я не уверен, поэтому проще написать заново.

Элемент абелевой группы назовём чётным, если он представим в виде суммы двух одинаковых элементов. Предикат чётности легко выражается на языке логики первого порядка: $%E(x)\leftrightharpoons(\exists y)(x=y+y)$%.

В терминах этого предиката легко различить модели $%\mathbb Z$% и $%\mathbb Z\oplus\mathbb Z$% формулой языка логики предикатов. В группе $%\mathbb Z$%, из нечётности элементов $%a$% и $%b$% вытекает чётность элемента $%a+b$%. Поэтому формула $$(\forall a)(\forall b)(E(a)\lor E(b)\lor E(a+b))$$ истинна в модели $%\mathbb Z$%. В модели $%\mathbb Z\oplus\mathbb Z$% она ложна, так как можно взять элементы $%a=(1,0)$% и $%b=(0,1)$%. Таким образом, модели не элементарно эквивалентны.

В пункте б) ответ также отрицательный. Чтобы выразить формулой различающее две модели свойство, будем использовать двуместный предикат $%P$%, полагая $%P(a,b)\leftrightharpoons(\exists y)(a=b+y+y)$%. Это значит, это элементы $%a$%, $%b$% отличаются на чётный элемент. Для краткости, можно говорить, что они имеют одинаковую чётность.

В группе $%\mathbb Z^2$%, среди любых пяти элементов найдутся два одинаковой чётности. Это следует из того, что типов чётности всего четыре: $%(0,0)$%, $%(1,0)$%, $%(0,1)$%, $%(1,1)$%. Поэтому формула $$(\forall a_1)(\forall a_2)(\forall a_3)(\forall a_4)(\forall a_5)(P(a_1,a_2)\lor P(a_1,a_3)\lor\ldots\lor P(a_4,a_5))$$ будет истинной на $%\mathbb Z^2$%. где дизъюнктивные члены имеют вид $%P(a_i,a_j)$% для $%1\le i < j\le5$%, и всего их имеется $%10$%.

На $%\mathbb Z^3$% эта формула ложна, так как среди восьми элементов вида $%(x,y,z)$%, где $%x,y,z\in\{0,1\}$%, никакие два не имеют одинаковой чётности.

ссылка

отвечен 13 Апр 14:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×370

задан
13 Апр 13:37

показан
27 раз

обновлен
13 Апр 14:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru