Предкомпактно ли в $%C[0,1]$% множество $%M=\{x\in C^{(2)}[0,1]:|x'(t)|\leq c_1,|x''(t)|\leq c_2\}$%? Непонятно, как именно нужно ответить на данный вопрос.

Вот например две последовательности $%x_n(t)=n$% и $%x_n(t)=\dfrac{e^{-nt}}{n^2}$% лежат в $%M$%, но первая из них не является предкомпактной (ибо не равномерно ограничена), а вторая -- является. Меня смущает, что это задача "со звёздочкой". Так же меня смущает, что есть ещё одна задача: доказать, что множество функций, имеющих на $%[0,1]$% $%n-$%ю производную, ограниченную некоторым числом $%k$%, предкомпактно в $%C[0,1]$%. Т.е. как эти два условия сочетаются?

И ещё есть третья задача: проверить предкомпактность множества $%M=\{x\in C^{(2)}[0,1]:|x(t)|\leq c_0, |x'(t)|\leq c_1, |x''(t)|\leq c_2\}$%. Тут не понимаю, к чему вообще нужна вторая производная, ведь первой уже хватает для равностепенной непрерывности.

задан 13 Апр 15:34

изменен 13 Апр 16:11

@caterpillar: а в чём именно проблема? По критерию Арцела - Асколи, для функций множества M нет равномерной ограниченности, то есть рассмотрения x_n(t)=n более чем достаточно.

(13 Апр 15:52) falcao

@falcao, дополнил вопрос.

(13 Апр 15:53) caterpillar

@caterpillar: формулировка насчёт n-й производной дана небрежно, так как не сказано, чему равно n. Уже это говорит о качестве используемых формулировок, поэтому ожидать "отточенности" здесь трудно. Возможно, имелись в виду производные вплоть до n-й, но я лично не люблю "гадать" -- если вижу плохую формулировку, то не хочу дальше думать.

Условие на вторую производную в последней задаче лишнее, но это ничему не противоречит. Так могли сделать намеренно, чтобы учащиеся сами выясняли, какие тут свойства существенны.

(13 Апр 22:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Предкомпактность, кажется, означает, что замыкание множества - компакт. Ответить на вопрос нужно "да" или "нет". Первое множество не вполне ограниченное, значит не предкомпактно.

Вторая задача не понятна, так как не сказано откуда берутся функции.

Третье кажется предкомпактно, а условие на вторую производную, наверное, условие ограниченности множества в C_2. То есть, словами третья задача такая: проверить предкомпактность в C шара из C_2.

ссылка

отвечен 13 Апр 17:54

@voloch, в первой задаче меня смутило, что она позиционируется, как трудная, потому решил уточнить, не ошибаюсь ли я в рассуждениях. Во второй задаче функции берутся из множества, описанного в условии. А вот что непонятно -- как это согласуется с предыдущей задачей. Склоняюсь к мысли, что в условии чего-то не хватает. К задаче идёт указание -- воспользоваться формулой Тейлора, но, опять же, какой смысл, если есть пример не равномерно ограниченного множества, подходящего под условие.

(13 Апр 18:35) caterpillar

В третьей задаче предкомпактность есть, но условие на вторую производную излишне. Все эти вопросы возникли у меня потому, что я обычно склонен скорее не доверять себе, чем авторам-составителям учебников\задачников.

(13 Апр 18:36) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×444
×1

задан
13 Апр 15:34

показан
54 раза

обновлен
13 Апр 22:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru