Пусть $%H$% - подгруппа всех элементов конечного порядка в группе $%(\mathbb{C}\setminus\{0\},×)$%. Докажите, что $%H\simeq\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$%, где группы $%\mathbb{Q}$% и $%\mathbb{Z}$% рассматриваются с операцией сложения.

задан 13 Апр 20:04

10|600 символов нужно символов осталось
0

Сопоставим каждому рациональному числу $%x$% комплексное число $%e^{2\pi ix}$%. Получится гомоморфизм аддитивной группы $%\mathbb Q$% в группу $%\mathbb C\setminus\{0\}$% по умножению.

Любой элемент образа имеет конечный порядок, так как если $%z=e^{2\pi im/n}$%, где $%m$% целое, $%n$% натуральное, то $%z^n=1$%. Обратно, всякий элемент $%z$% конечного порядка удовлетворяет уравнению $%z^n=1$% для некоторого $%n$%, а все решения которого описываются известной формулой $%z=e^{2\pi ki/n}$% при $%0\le k < n$%.

Следовательно, образ гомоморфизма совпадает с $%H$%. Если $%x$% принадлежит ядру, то $%e^{2\pi ix}=1$%, и тогда $%x$% целое, откуда понятно, что ядро совпадает с подгруппой целых чисел. По теореме о гомоморфизмах, $%\mathbb Q/\mathbb Z\cong H$%.

ссылка

отвечен 13 Апр 21:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,082
×369

задан
13 Апр 20:04

показан
118 раз

обновлен
13 Апр 21:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru