Найти все корни уравнения: $$ [x + \frac{1}{2}] = \frac{x^6}{2} - [x] $$ ({x} - дробная часть числа х ; [x] - целая часть).

Если {x} <1/2 ,то все понятно.

А если {x} >=1/2:(>= - больше или равно)

$$ 2[x] +1 = \frac{x^6}{2} $$ $$ [x] =\frac{x^6-2}{4} $$ Откуда: $$ [x]=n $$ $$ x^6 =4n+2 ;n \in Z $$ $$ n\leq \sqrt[6]{4n+2} \leq n+1 $$ Получается неравенство шестой степени.Как решать?

задан 13 Апр 20:12

изменен 13 Апр 20:13

Понятно, что n>=0, и что n=0 не подходит. При n=1 неравенство верно, но тогда получается x=6^(1/6), где легко проверяется, что эта величина находится между 1 и 3/2, то есть дробная часть меньше 1/2. Наконец, при n>=2 решений нет, так как n^6 > 4n+2 этих условиях. Это ясно хотя бы из соображений n^6>=32n > 4n+2.

А при {x} < 1/2 получается одно решение x=2^{1/3}.

(13 Апр 22:25) falcao

@falcao Cпасибо. А при {x} < 1/2 , x=0 ведь тоже решение?

(13 Апр 22:28) potter
1

@potter: да, это решение. Я мысленно рассматривал положительные, когда рассуждал, и про этот случай забыл.

Тут вся суть в том, что x^6 растёт очень быстро, поэтому x близко к нулю.

(13 Апр 22:36) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×140

задан
13 Апр 20:12

показан
39 раз

обновлен
13 Апр 22:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru