Дано 1000-значное число без нулей в записи. Докажите, что из этого числа можно вычеркнуть несколько (возможно, ни одной) последних цифр так, чтобы получившееся число не было натуральной степенью числа, меньшего 500. (С. Берлов)

Мне непонятны несколько моментов в условии этой задачи:

1) Какую роль играет то, что в записи числа отсутствуют нули? Ведь если нули есть, можно вычеркнуть всё, что правее первого нуля (даже в случае, когда правее ничего нет), и получившееся число гарантированно не будет степенью (выше первой) никакого натурального числа.

2) Зачем нужно условие «меньшего 500»? Как это влияет на доказательство?

3) (это уже, скорее, моя придирка) Режет уши и глаза понятие «натуральная степень». На мой взгляд, лучше писать «степень с натуральным показателем, большим 1».

4) Попробую всё-таки привести здесь попытку решения, вдруг окажется, что я в корне заблуждаюсь?

Итак, предположим противное от того, что требуется доказать в задаче. В таком случае, первой цифрой нашего 1000-значного числа может быть только 1, 4, 8 или 9 (иначе - вычёркиваем все цифры, кроме первой, и задача решена). Но если первая цифра - 1, 4, 8 или 9, то первые две цифры могут быть только 16, 49 или 81 (иначе - вычёркиваем все цифры, кроме первой и второй, и задача решена). Но если первые две цифры - 16, 49 или 81, то первыми тремя цифрами могут быть только 169 (иначе - вычёркиваем все цифры, кроме первых трёх, и задача решена). Но если первые три цифры - 169, то какой бы ни была четвёртая цифра, можно смело вычеркнуть все цифры, кроме первых четырёх - и вуаля! Мы пришли к противоречию, следовательно, доказали требуемое.

Что не так? И почему авторское решение совсем иное: http://www.matol.ru/files/3etap2019sol.pdf (задача №3)?

задан 13 Апр 23:52

1

@Казвертеночка: судя по всему, там первые степени тоже разрешены, то есть нельзя оставлять чисел, которые меньше 500.

(14 Апр 0:40) falcao

@falcao, ой...

(14 Апр 0:42) Казвертеночка

@falcao, когда говорят "степень", то обычно полагают, по умолчанию, что показатель больше единицы, разве нет?

(14 Апр 0:54) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: нет, не обязательно. Я встречал такой оборот как "истинная степень", когда показатель больше 1.

(14 Апр 1:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,009
×80
×6
×5
×1

задан
13 Апр 23:52

показан
37 раз

обновлен
14 Апр 1:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru