Есть две функции: f(x) = x+3 и g(x) = 2x+1.

легко вычислить: f(g(x)) = 2x+4 , а g(f(x)) = 2x+7.

А вот вопрос: можно ли в обратную сторону?

то есть дано:

f(g(x)) = 2x+4

g(f(x)) = 2x+7

Можно ли найти отсюда f(x) и g(x) ?Если да, то как?

задан 13 Апр 23:55

1

нельзя, ибо например, подходит вариант g(x)=x-3, f(x)=2x+10

(14 Апр 0:33) Witold2357
1

@Witold2357, а как Вы их нашли?

(14 Апр 0:38) epimkin
1

@epimkin: такой пример легко найти, меняя ролями функции. Я его тоже выписал, но сразу же возник вопрос, единственны ли эти варианты. Я думаю, что при разумных ограничениях на функции, это должно быть так, а для каких-то сильно разрывных могут быть "дикие" контрпримеры.

(14 Апр 0:42) falcao
1

@falcao, почему спросил? Только что попался такой f(g(x)=16x^2+36x+18 и g(f(x) =4x^2-12x+6. Принцип решения ?

(14 Апр 0:51) epimkin
1

@falcao, вопрос забыл написать - найти f(x) и g(x)

(14 Апр 0:51) epimkin
3

к настоящей задаче подходит целая серия линейных функций - вот все они $%f(x)=2ax+14a-4, g(x)=\frac{x}{a}+\frac{4}{a}-7$%. Вопрос в том существуют ли нелинейные непрерывные функции. Скорее да.

(14 Апр 0:59) Witold2357
1

@epimkin: если речь о том, чтобы привести пример таких функций, то одна берётся квадратичной, другая линейной, и применяется метод неопределённых коэффициентов. Подходит f(x)=x^2-3x, g(x)=4x+6. Но это не единственный пример. Если f взять линейной, g квадратичной, то подойдёт f(x)=(x-6)/4, g(x)=64x^2+144x+78.

(14 Апр 1:19) falcao
1

@falcao, я пока не понял: берём f(x)=Ax+B, g(x)=Сx^2+D*x+E = потом записываем чему равно f(g(x)) и т д?

(14 Апр 1:36) epimkin
1

@epimkin: да, конечно. Получатся два квадратных трёхчлена, и надо приравнять коэффициенты. Система там простая получается, то есть все неизвестные последовательно находятся.

(14 Апр 2:02) falcao
1

@falcao, у меня уже получилось

(14 Апр 2:09) epimkin
1

@falcao, последний вопрос по теме: почему нужно брать одну функцию линейной, а вторую квадратичной? Почему, например, нельзя взять обе квадратичные или линейные или вообще какие- нибудь кубические? Правда не пробовал, может если взять обе квадратичные, то одна выродится в линейную

(14 Апр 2:18) epimkin
1

@epimkin: если мы ограничиваем себя многочленами, и их степени равны m, n, то есть f(x)=ax^m+... , g(x)=bx^n+... , то очевидно, что f(g(x))=a(bx^n)^m+... , где всё остальное имеет меньшую степень. То есть степени после подстановки будут всегда равны mn. Из mn=2 однозначно получаем квадратичную и линейную функции.

(14 Апр 2:24) falcao

@falcao, @Witold2357, спасибо

(14 Апр 2:33) epimkin

Всем спасибо за ответ.

(14 Апр 14:03) potter
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×140

задан
13 Апр 23:55

показан
63 раза

обновлен
14 Апр 14:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru