Почему любое гауссово число является числом, производящим пифагоровы числа?

Например, чтобы подобрать целочисленные катеты для гипотенузы, равной 74, достаточно представить число 74 в виде суммы двух квадратов (например, квадратов чисел 7 и 5), а затем проделать следующее: $$(7+5i)^2=49+70i-25=24+70i$$ И мы получили пифагорову тройку $%(24, 70, 74)$%!

Какой механизм лежит в основе этого фокуса?

задан 14 Апр 10:24

2

Тут всё лежит на поверхности: известно, что (m^2-n^2,2mn,m^2+n^2) является пифагоровой тройкой, что проверяется непосредственно, то есть без участия комплексных чисел. Использование которых даёт то же самое ввиду (m+in)^2=(m^2-n^2)+2mni. Можно к этому добавить, что пифагорово соотношение вытекает из того факта, что модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей. В частности, |z^2|=|z|^2. Если ещё раз возвести в квадрат, то тождество получается без проверки.

(14 Апр 14:02) falcao

@falcao, большое спасибо! Любопытно, можно ли использовать это свойство гауссовых чисел для поиска пифагоровых троек, имеющих одинаковое произведение?

(14 Апр 16:59) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: описание пифагоровых троек и так известно. Помимо этого, гауссовы числа всё равно ничего нового не дадут. Что касается троек с одинаковым произведением, то что это за проблема?

(14 Апр 19:36) falcao
2

Добавлю к первому посту @falcao, что равенство $%|z^k|=|z|^k$% дает возможность получения решений уравнения $%x^2+y^2=z^k$%. И это уже, пожалуй, не так прозрачно.
$%(x+iy)^k=X+iY \Rightarrow X^2+Y^2=(x^2+y^2)^k$%
Например, для k=3 ($%x^2+y^2=z^3$%) получаем следующую параметризацию решений:
$%x=m^3-3mn^2$%
$%y=3m^2n-n^3$%
$%z=m^2+n^2$%

(15 Апр 0:18) spades
1

@falcao, «Что касается троек с одинаковым произведением, то что это за проблема?» ... Если верить Вике, это открытая проблема: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%B2_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB (раздел «Другие проблемы», зад №5).

(15 Апр 10:34) Казвертеночка

@spades, и Вам большое спасибо!

(15 Апр 10:34) Казвертеночка
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,039
×425
×2
×1
×1

задан
14 Апр 10:24

показан
76 раз

обновлен
15 Апр 10:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru