Проверить, принадлежит ли функция $$-x*e^{x}$$ пространству $$L_{p}(-\infty,0)$$ где $$1\leq p \lt \infty$$

задан 14 Апр 11:41

изменен 14 Апр 11:41

10|600 символов нужно символов осталось
3

Требуется исследовать на сходимость интеграл $%\displaystyle\int\limits_{-\infty}^0|-xe^{x}|^pdx=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^0(-x)^pe^{px}dx$%. Чтоб не путаться со знаками, выполним замену $%y=-x$% и получим интеграл $%\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}y^pe^{-py}dy$%. Поскольку $%\dfrac{y^{p+2}}{e^{py}}\to0$% при $%y\to+\infty$%, то при $%y>\delta$% будем иметь $%\dfrac{y^{p+2}}{e^{py}}<1$%, откуда $%e^{py}>y^{p+2}$%. Тем самым, подынтегральная функция при достаточно больших $%y$% оценивается так: $%y^pe^{-py}<\dfrac{y^p}{y^{p+2}}=\dfrac{1}{y^2}$%, а интеграл от этой функции сходится. Ответ: принадлежит при всех $%p\geq1.$%

ссылка

отвечен 14 Апр 12:07

изменен 14 Апр 12:10

Но ведь 1/y^2 не сходится на (0,+inf)

(15 Апр 8:16) abc_knower
1

Этот интеграл сходится на $%(\delta,\infty)$%. А в нуле у исходного интеграла изначально не было особенности, поэтому вместо нуля можно подставить любое число, от этого сходимость не изменится.

(15 Апр 8:40) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,205

задан
14 Апр 11:41

показан
60 раз

обновлен
15 Апр 8:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru