|
$$2yy'' =(y')^{2} +1$$ Замену $$y'=p \Rightarrow y''=p'p$$ Получиться $$2yp'p=p^{2}+1$$ А это уже свести как-то к Бернулли и решать как Бернулли, правильно? И если да, то что-то я не пойму как его к Бернулли свести. задан 17 Май '13 20:48 
Jeremen |
|
Если обе части этого уравнения продифференцировать, то получится $%2y'y''+2yy'''=2y'y''$%, то есть $%yy'''=0$%. Ясно, что $%y(x)\ne0$% при всех $%x$% (правая часть уравнения всегда положительна), откуда $%y'''=0$%, то есть $%y$% -- многочлен от $%x$% степени не выше двух. Подставляя $%y=ax^2+bx+c$% в уравнение, получаем $%4ac=b^2+1$%, то есть ответом будет множество всех квадратных трёхчленов с дискриминантом, равным $%-1$%. Здесь всегда $%a\ne0$%, и общее решение получается такое: $%y=a(x-x_0)^2+\frac1{4a}$%, где $%a\ne0$%, $%x_0\in{\mathbb R}$%. отвечен 17 Май '13 21:54 
falcao @epimkin: А какое решение Вы имели в виду? Тут уравнение имеет как бы не совсем "стандартный" вид. Поэтому годятся любые способы решения -- лишь бы было математически правильно.
(17 Май '13 22:45)
falcao
1
Да нет, я не спорю, но спрашивающим, думаю, проще разбираться, когда решается стандартными методами. Здесь, интегрируем, находим р, интегрируем еще раз
(18 Май '13 0:33)
epimkin
@epimkin: с той мыслью, что предпочтительнее использовать стандартные методы, я согласен. Тут я просто не сразу сообразил, что имелось в виду. От меня ускользнул тот факт, что $%p$% рассматривается как функция от $%y$%. Если принять это во внимание, то всё сразу встаёт на свои места.
(18 Май '13 0:55)
falcao
1
Я его решил и в книге Матвеева нашел ответ. Завтра, если успею картинку выложу.
(18 Май '13 1:09)
epimkin
|
|
@epimkin в задачнике Филиппова написано y'=py, Тогда y''=d(y')/dx=dp(y)/dx=dp/dy*dy/dx=p'p Подставляя y'=p и y''=p'p, получим 2ypp'=p^2+1 Порядок уравнения понижен.Решив полученное уравнение, найдём p=+-sqrt(Cy-1).следовательно, y'=+-sqrt(Cy-1).Из этого уравнения получим 4(Cy-1)=C^2(x+C2) Однако произведя все указанные выше замены, я получил немного иной ответ.Вначале ничто не предвещало казусов: p'=dp/dy 2yp*dp/dy=p^2+1 2p/p^2+1=dy/y Integral(2p/(p^2+1)*dp)=Integral(dy/y) Integral(1/(p^2+1)d(p^2+1))=Integral(dy/y) ln|p^2+1|=ln|Cy| p^2=Cy-1 p=+-sqrt(Cy-1) Но затем, вернувшись к исходным переменным p=dy/dx dy/dx=sqrt(Cy-1) dy/sqrt(Cy-1)=dx (1/C)*d(Cy-1)/sqrt(Cy-1)=dx 2(1/C)sqrt(Cy-1)=x+С2 4(1/C^2)(Cy-1)=(x+C2)^2 откуда y=(((x+С2)^2)/4)*C^2+1)/C т.е результат немного не тот, что предлагается Филипповым отвечен 22 Фев '14 17:38 
Jeg92 @epimkin глава 10 уравнения, допускающие понижения порядка сам параграф(введение к примерам), пункт 2, стр 44-45
(22 Фев '14 17:52)
Jeg92
@epimkin т.е. оба ответа-правильные? но ведь x у Филиппова в первой степени?
(22 Фев '14 18:17)
Jeg92
@epimkin ну вот, из-за невнимательности издателей люди время теряют, ведь я то думал "Филиппов-это не меньше, чем Демидович в матане, там не может быть опечаток" и давай копать..
(22 Фев '14 18:36)
Jeg92
показано 5 из 9
показать еще 4
|
Никуда сводить не надо.У Вас уже уравнение с разделяющимися переменными. Разделяйте и интегрируйте