$$2yy'' =(y')^{2} +1$$ Замену $$y'=p \Rightarrow y''=p'p$$ Получиться $$2yp'p=p^{2}+1$$ А это уже свести как-то к Бернулли и решать как Бернулли, правильно? И если да, то что-то я не пойму как его к Бернулли свести.

задан 17 Май '13 20:48

изменен 17 Май '13 21:25

Angry%20Bird's gravatar image


9125

1

Никуда сводить не надо.У Вас уже уравнение с разделяющимися переменными. Разделяйте и интегрируйте

(17 Май '13 20:59) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
2

Если обе части этого уравнения продифференцировать, то получится $%2y'y''+2yy'''=2y'y''$%, то есть $%yy'''=0$%. Ясно, что $%y(x)\ne0$% при всех $%x$% (правая часть уравнения всегда положительна), откуда $%y'''=0$%, то есть $%y$% -- многочлен от $%x$% степени не выше двух.

Подставляя $%y=ax^2+bx+c$% в уравнение, получаем $%4ac=b^2+1$%, то есть ответом будет множество всех квадратных трёхчленов с дискриминантом, равным $%-1$%. Здесь всегда $%a\ne0$%, и общее решение получается такое: $%y=a(x-x_0)^2+\frac1{4a}$%, где $%a\ne0$%, $%x_0\in{\mathbb R}$%.

ссылка

отвечен 17 Май '13 21:54

1

Не поймут, думаю. Так (не знаю про мехматы) не учат простых смертных

(17 Май '13 22:27) epimkin

@epimkin: А какое решение Вы имели в виду? Тут уравнение имеет как бы не совсем "стандартный" вид. Поэтому годятся любые способы решения -- лишь бы было математически правильно.

(17 Май '13 22:45) falcao
1

Да нет, я не спорю, но спрашивающим, думаю, проще разбираться, когда решается стандартными методами. Здесь, интегрируем, находим р, интегрируем еще раз

(18 Май '13 0:33) epimkin

@epimkin: с той мыслью, что предпочтительнее использовать стандартные методы, я согласен. Тут я просто не сразу сообразил, что имелось в виду. От меня ускользнул тот факт, что $%p$% рассматривается как функция от $%y$%. Если принять это во внимание, то всё сразу встаёт на свои места.

(18 Май '13 0:55) falcao
1

Я его решил и в книге Матвеева нашел ответ. Завтра, если успею картинку выложу.

(18 Май '13 1:09) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
1

link text

У меня так получилось

ссылка

отвечен 18 Май '13 13:55

10|600 символов нужно символов осталось
0

@epimkin в задачнике Филиппова написано

y'=py, Тогда y''=d(y')/dx=dp(y)/dx=dp/dy*dy/dx=p'p Подставляя y'=p и y''=p'p, получим 2ypp'=p^2+1 Порядок уравнения понижен.Решив полученное уравнение, найдём p=+-sqrt(Cy-1).следовательно, y'=+-sqrt(Cy-1).Из этого уравнения получим 4(Cy-1)=C^2(x+C2)

Однако произведя все указанные выше замены, я получил немного иной ответ.Вначале ничто не предвещало казусов: p'=dp/dy

2yp*dp/dy=p^2+1

2p/p^2+1=dy/y

Integral(2p/(p^2+1)*dp)=Integral(dy/y)

Integral(1/(p^2+1)d(p^2+1))=Integral(dy/y)

ln|p^2+1|=ln|Cy|

p^2=Cy-1

p=+-sqrt(Cy-1) Но затем, вернувшись к исходным переменным p=dy/dx

dy/dx=sqrt(Cy-1)

dy/sqrt(Cy-1)=dx

(1/C)*d(Cy-1)/sqrt(Cy-1)=dx

2(1/C)sqrt(Cy-1)=x+С2

4(1/C^2)(Cy-1)=(x+C2)^2 откуда y=(((x+С2)^2)/4)*C^2+1)/C т.е результат немного не тот, что предлагается Филипповым

ссылка

отвечен 22 Фев '14 17:38

изменен 22 Фев '14 17:49

@Jeg92 ,А какой номер в Филиппове, я не нашел там такого примера?

(22 Фев '14 17:49) epimkin

@epimkin глава 10 уравнения, допускающие понижения порядка сам параграф(введение к примерам), пункт 2, стр 44-45

(22 Фев '14 17:52) Jeg92

@epimkin издание 2000 года

(22 Фев '14 18:01) Jeg92

@Jeg92 , нашел, с постоянными он там начинает манипуляции проводить

(22 Фев '14 18:06) epimkin

@Jeg92 , с1 и с2 чему - нибудь равными и проверьте

(22 Фев '14 18:14) epimkin

@epimkin т.е. оба ответа-правильные? но ведь x у Филиппова в первой степени?

(22 Фев '14 18:17) Jeg92

@Jeg92 , описка, , при проверке ничего не получается

(22 Фев '14 18:21) epimkin

@epimkin ну вот, из-за невнимательности издателей люди время теряют, ведь я то думал "Филиппов-это не меньше, чем Демидович в матане, там не может быть опечаток" и давай копать..

(22 Фев '14 18:36) Jeg92

@epimkin спасибо)

(22 Фев '14 18:37) Jeg92
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×699

задан
17 Май '13 20:48

показан
1833 раза

обновлен
22 Фев '14 18:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru