Найти функцию w(z), конформно отображающую {Imz<0} на область {|w|>1}, так чтобы w(-2i) = 2i; argw'(2i) = pi/2 Какие преобразования плоскости надо произвести? 1)отобразить плоскость с поворотом на 180 градусов 2)Отобразить верхнюю полуплоскость в круг 3) а потом взять обратную плоскость к кругу?

задан 18 Апр '19 20:14

Можно отобразить нижнюю полуплоскость на себя, как здесь. Точку $%-2i$% при этом оставить неподвижной. Тем самым останется два параметра. Далее, применить дробно-линейное отображение, отправляющее, например, точку $%-i$% в бесконечность, а симметричную -- в центр круга. Ну и затем исключать параметры из условий.

(18 Апр '19 20:34) caterpillar

можно подробнее, как отправить -i в бесконечность, а i в центр круга, т.е. i отправиться в ноль? w = exp(ifi)(z-i)/(z+i) и от этого отображения брать производную?

(18 Апр '19 20:42) sasha8800333

Сейчас подумал, что так слишком сложно. Надо так: отобразить точку -2i в точку 2i. Симметричную точке -2i отобразить в точку симметричную относительно единичной окружности. Как известно, дробно-линейная функция строится однозначно по трём точкам, поэтому третью точку оставляем в качестве параметра. И вот её и надо найти при помощи производной. Использовать можно формулу для дробно-линейной функции по трём точкам.

(18 Апр '19 20:56) caterpillar

1) z1(-2i) = 2i => 2i = (-2ia+b)/(-2ic+d), вы это имели ввиду? 2) про отображение симметричной точки -2i не совсем понял

(18 Апр '19 21:00) sasha8800333

Я имел ввиду только дробно-линейное отображение: -2i->2i, 2i->i/2, z0->w0, вот по этим трём точкам записать формулу дробно-линейной функции (я не наберу, ибо с телефона неудобно), а потом через производную найти z0,w0.

(18 Апр '19 21:04) caterpillar

почему 2i->i/2?

(18 Апр '19 21:08) sasha8800333

потому что i/2 симметрична 2i относительно единичной окружности.

(18 Апр '19 21:09) caterpillar

$$(w-2i)/(w-i/2)$$$$(w0-i/2)/(w0-2i)$$ = $$(z+2i)/(z-2i)$$$$(z0-2i)/(z0+2i)$$, выражаю w и беру производную по z, так?

(18 Апр '19 21:17) sasha8800333

Да. Но можно сперва взять производную, а потом выражать. Также можно попробовать взять z0=1 (например), параметра то два, а условие осталось одно.

(18 Апр '19 21:25) caterpillar

нет ли каких нибудь книг, в которых есть подобные задачи с решением? желание овладеть задачами такого типа велико

(18 Апр '19 21:27) sasha8800333

Классика -- Это Сидоров,Федорюк, Шабунин, Лекции по ТФКП. Для решения таких задач надо наработать базу простейших примеров. Само решение таких задач по мне похоже на интегрирование через нахождение первообразных.

(18 Апр '19 21:32) caterpillar

всё равно не получается с тремя точками... а что если взять w = exp(ifi)*(z - z0) / (z - z0) отображение Imz>0 переводит на единичный круг а потом взять 1/w, оно переведет во внешность, но как использовать производную угла

(18 Апр '19 21:36) sasha8800333
1

А какие проблемы возникли? Получается такая дробь $%A\cdot\dfrac{w-2i}{w-i/2}=\dfrac{z+2i}{z-2i}\cdot\dfrac{1-2i}{1+2i}$%. Я взял $%z_0=1$% и обозначил $%A=\dfrac{w_0-i/2}{w_0+2i}$%. Дифференцируете равенство с обоих сторон, подставляете точку $%z=2i$%, выражаете производную, находите аргумент, откуда станет известно $%A$%. Всё.

(19 Апр '19 5:51) caterpillar

Только что заметил, что лучше первую точку со второй местами поменять, а то некрасиво в производную точка 2i подставляется.

(21 Апр '19 15:50) caterpillar
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×476
×157

задан
18 Апр '19 20:14

показан
262 раза

обновлен
21 Апр '19 15:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru