Найти функцию w(z), конформно отображающую {Imz<0} на область {|w|>1}, так чтобы w(-2i) = 2i; argw'(2i) = pi/2 Какие преобразования плоскости надо произвести? 1)отобразить плоскость с поворотом на 180 градусов 2)Отобразить верхнюю полуплоскость в круг 3) а потом взять обратную плоскость к кругу?

задан 18 Апр 20:14

Можно отобразить нижнюю полуплоскость на себя, как здесь. Точку $%-2i$% при этом оставить неподвижной. Тем самым останется два параметра. Далее, применить дробно-линейное отображение, отправляющее, например, точку $%-i$% в бесконечность, а симметричную -- в центр круга. Ну и затем исключать параметры из условий.

(18 Апр 20:34) caterpillar

можно подробнее, как отправить -i в бесконечность, а i в центр круга, т.е. i отправиться в ноль? w = exp(ifi)(z-i)/(z+i) и от этого отображения брать производную?

(18 Апр 20:42) sasha8800333

Сейчас подумал, что так слишком сложно. Надо так: отобразить точку -2i в точку 2i. Симметричную точке -2i отобразить в точку симметричную относительно единичной окружности. Как известно, дробно-линейная функция строится однозначно по трём точкам, поэтому третью точку оставляем в качестве параметра. И вот её и надо найти при помощи производной. Использовать можно формулу для дробно-линейной функции по трём точкам.

(18 Апр 20:56) caterpillar

1) z1(-2i) = 2i => 2i = (-2ia+b)/(-2ic+d), вы это имели ввиду? 2) про отображение симметричной точки -2i не совсем понял

(18 Апр 21:00) sasha8800333

Я имел ввиду только дробно-линейное отображение: -2i->2i, 2i->i/2, z0->w0, вот по этим трём точкам записать формулу дробно-линейной функции (я не наберу, ибо с телефона неудобно), а потом через производную найти z0,w0.

(18 Апр 21:04) caterpillar

почему 2i->i/2?

(18 Апр 21:08) sasha8800333

потому что i/2 симметрична 2i относительно единичной окружности.

(18 Апр 21:09) caterpillar

$$(w-2i)/(w-i/2)$$$$(w0-i/2)/(w0-2i)$$ = $$(z+2i)/(z-2i)$$$$(z0-2i)/(z0+2i)$$, выражаю w и беру производную по z, так?

(18 Апр 21:17) sasha8800333

Да. Но можно сперва взять производную, а потом выражать. Также можно попробовать взять z0=1 (например), параметра то два, а условие осталось одно.

(18 Апр 21:25) caterpillar

нет ли каких нибудь книг, в которых есть подобные задачи с решением? желание овладеть задачами такого типа велико

(18 Апр 21:27) sasha8800333

Классика -- Это Сидоров,Федорюк, Шабунин, Лекции по ТФКП. Для решения таких задач надо наработать базу простейших примеров. Само решение таких задач по мне похоже на интегрирование через нахождение первообразных.

(18 Апр 21:32) caterpillar

всё равно не получается с тремя точками... а что если взять w = exp(ifi)*(z - z0) / (z - z0) отображение Imz>0 переводит на единичный круг а потом взять 1/w, оно переведет во внешность, но как использовать производную угла

(18 Апр 21:36) sasha8800333
1

А какие проблемы возникли? Получается такая дробь $%A\cdot\dfrac{w-2i}{w-i/2}=\dfrac{z+2i}{z-2i}\cdot\dfrac{1-2i}{1+2i}$%. Я взял $%z_0=1$% и обозначил $%A=\dfrac{w_0-i/2}{w_0+2i}$%. Дифференцируете равенство с обоих сторон, подставляете точку $%z=2i$%, выражаете производную, находите аргумент, откуда станет известно $%A$%. Всё.

(19 Апр 5:51) caterpillar

Только что заметил, что лучше первую точку со второй местами поменять, а то некрасиво в производную точка 2i подставляется.

(21 Апр 15:50) caterpillar
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×452
×144

задан
18 Апр 20:14

показан
170 раз

обновлен
21 Апр 15:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru