|
Перед тем как задать вопрос я погуглил, но не нашел ответа. В Интернете нет более-менее единого мнения по этому поводу. Что касается моего учебника, то он по этому поводу молчит. задан 18 Май '13 13:09 
I_Robot |
|
В рамках школьной программы считается, что значение выражения $%0^0$% не определено. С точки зрения современной математики, удобно считать, что $%0^0=1$%. Идея здесь следующая. Пусть имеется произведение $%n$% чисел вида $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. Для всех $%n\ge2$% выполняется равенство $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_{n-1})x_n=p_{n-1}x_n$%. Удобно считать это равенство имеющим смысл и при $%n=1$%, полагая $%p_0=1$%. Логика здесь такая: вычисляя произведения, мы сначала берём 1, а потом домножаем последовательно на $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Именно такой алгоритм используется при нахождении произведений, когда пишутся программы. Если по какой-то причине домножений не произошло, то произведение осталось равно единице. Иными словами, удобно считать имеющим смысл такое понятие как "произведение 0 сомножителей", считая его по определению равным 1. В этом случае можно говорить также о "пустом произведении". Если мы какое-то число домножим на такое "произведение", то ничего не изменится, так как мы ничего не сделали. Но это равносильно умножению на 1. Нужно чётко различать случай, когда имеется ноль сомножителей, и случай, когда среди сомножителей имеется ноль. Это совсем разные вещи. Во втором случае сомножители есть (хотя бы в количестве одной штуки). И, конечно, если среди сомножителей есть 0, то произведение всегда равно нулю. Можно сравнить с такой ситуацией: "имеется 5 сомножителей" и "среди сомножителей имеется число 5". Это совершенно разные вещи. Итак, предлагается считать, что $%0^0=1$%. Это не ведёт ни к каким противоречиям или неудобствам. Аналогично, мы считаем, что $%2^0=1$%, или $%10^0=1$% -- такие соглашения действуют в школе. Но разницы по сути никакой нет, так как это те же произведения, состоящие из нуля сомножителей. Также верно то, что $%0!=1$% -- по той же самой причине. Это такое же "пустое" произведение. Имеет смысл отметить, что тут нет противоречия, которое кто-то мог бы усмотреть из следующего рассуждения. Как известно, $%n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$%, то есть в произведение входит сомножитель $%n$%. И тогда, если мы по аналогии решим, что в произведение $%0!$% входит 0, то значение будет равно нулю. Однако аналогия здесь не действует, так как у произведения $%0!$% нет сомножителей вообще, поэтому нет и сомножителя, равного нулю. Есть ещё одно соображение в пользу того, почему это соглашение удобно. При $%x > 0$% можно рассматривать число $%x^x$%, а потом задаться вопросом, что будет, если $%x$% приближать к нулю. Окажется, что $%x^x$% будет приближаться именно к 1. отвечен 18 Май '13 14:17 
falcao |
|
Выражение $%0^0$% в математике не определено по ряду причин. В этом нет необходимости, ибо выражение вида $%0^0$% возникает в самых разных ситуациях, например, при нахождении пределов. Что касается каких-то алгоритмических конструкций, то там этот вопрос решается в рамках среды программирования. При разумном подходе в конкретной ситуации этот вопрос решается. Поэтому не стоит "навязывать" выражению $%0^0$% какое-то однозначное значение. Дополнение. $$\Big(0^0=1;2^0=1)\Rightarrow\frac{2^0}{0^0}=\Big(\frac{2}{0}\Big)^0=1.$$ Чему равно $%\frac{2}{0}$%,$%\frac{3}{0}$%,...? отвечен 18 Май '13 16:46 
Anatoliy Будучи алгебраистом, не могу с этим согласиться. Да, в школьном курсе математики это выражение считается неопределённым. То же самое касается математики "классической", то есть прежде всего анализа. Но здесь, при всём уважении к "авторитетам", я не считаю нужным этому следовать -- хотя бы по той причине, что 0 как таковой получил статус "полноценного" числа очень поздно. Но никаких опасностей тут нет. Общая идея здесь простая, если подходить с точки зрения современной алгебры. В любой полугруппе с единицей относительно умножения определяются степени элементов по индукции; при этом $%a^0=1$%.
(18 Май '13 16:58)
falcao
Вы считаете, что если этому выражению придать определенное значение, то "опасности" исчезнут? Если же в каких-то математических структурах появляется нечто подобное, то это решается в рамках этих структур и имеет, очевидно, совсем другой смысл. Хотелось бы знать, кто из ученых математиков (высокого уровня) чувствовал дискомфорт с выражением $%0^0$%?
(18 Май '13 17:26)
Anatoliy
Да, я утверждаю, что опасностей тут в принципе нет, так как в рамках алгебры, нулевые степени элементов полугрупп с единицей определены на высшем уровне строгости. Например, $%A^0=E$% для любой квадратной матрицы -- даже для нулевой. Ешё один косвенный, но важный аргумент: в теории множеств определено понятие $%X^Y$% -- это множество всех отображений из $%Y$% в $%X$%. Если множества конечны, то в нём $%|X|^{|Y|}$% элементов. Проверим для "вырожденных" случаев: из пустого множества есть всегда ровно одно отображение куда угодно -- хоть в пустое, хоть в непустое. (продолжение следует)
(18 Май '13 19:17)
falcao
(продолжение) Из непустого множества в пустое отображений нет. То есть $%0^0=1$%, $%n^0=1$%, $%0^n=0$% для $%n=1,2,...$%. Помимо этого, я считаю, что принятие того положения, что "пустое произведение" равно 1, даёт массу удобств. Равенства типа $%2^0=1$%, $%0!=1$% становятся верными автоматически. Кроме того, в выкладках постоянно используются равенства типа $%x_1...x_n=(x_1\ldots x_{n-1})x_n$%, которые без принятия этого положения становятся некорректными при $%n=1$%. Могу также сослаться на любую книгу по современной алгебре. Например, в книге Ленга на стр. 18 приводится нужное определение.
(18 Май '13 19:31)
falcao
Вы рассмотрели число $%a/b$% при $%b=0$%, но этого делать нельзя совершенно независимо от того, определено $%0^0$% или нет. Правила обращения со степенями здесь обычные: $%(xy)^0=x^0y^0$%; $%(x/y)^0=x^0/y^0$% на области определения, то есть при $%y\ne0$%. Тут нет разницы с тождеством $%x/x=1$%, которое верно не для всех $%x$%, а только для $%x\ne0$%.
(18 Май '13 23:02)
falcao
Но, Вы же считаете число 0 равноправным среди остальных. В связи с особенность числа 0, для него и вводятся исключение. Заниматься в данном случае "магией" дело несолидное для тех, кто считает себя математиком.
(19 Май '13 12:22)
Anatoliy
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
На родственном форуме MSE (http://math.stackexchange.com) имеется замечательная статья по этому поводу. отвечен 18 Май '13 22:22 
Mather Там в обсуждении несколько раз звучит аргумент, что $%0^0$% есть частный случай "пустого произведения". Строго говоря, этого соображения уже более чем достаточно. Я здесь не упомянул об одном распространённом возражении, которое состоит в рассмотрении пределов функции $%x^y$% по разным направлениям. Аналогично, некоторые берут выражение вида $%f(x)^{g(x)}$%, где обе функции стремятся к нулю. Но предел при этом может получаться разный, на основании чего делает вывод, что $%0^0$% "не определено". Вывод неверен: функция $%(x,y)\mapsto x^y$% не непрерывна в нуле, и к пределу нельзя перейти.
(18 Май '13 23:00)
falcao
@Anatoliy: вынужденно отвечаю здесь, так как выше нет возможности добавить комментарий. Я не считаю число 0 равноправным во всех отношениях. Ясно, что оно имеет алгебраические особенности: у него нет обратного элемента. И это влечёт необходимые ограничения: на 0 нельзя делить. Однако, как я показал выше, при возведении в нулевую степень никаких трудностей не возникает. Поэтому их вводить не надо. Как раз "магией" было бы то, когда из-за трудностей с этим числом в одних ситуациях мы по принципу "как бы чего не вышло" стали бы накладывать лишние ограничения -- скажем, при вычитании нуля.
(19 Май '13 13:16)
falcao
|
