Дана ограниченная последовательность $% x_{n} $%, удовлетворяющая условию $% x_{n + 2} \leq \frac{x_{n + 1} + x_{n}}{2} $%. Доказать, что последовательность $% y_{n} = \max \left\{ x_{n}, x_{n + 1} \right\} $% имеет предел.

Выписав неравенства для некоторых $% n $%, определил, что $$ x_{n} \leq \frac{1}{3} \left( \left( 1 + \frac{(-1)^{n + 1}}{2^{n}} \right) a + \left( 2 + \frac{(-1)^{n}}{2^{n}} \right) b \right) .$$

для $% x_{1} = a, x_{2} = b $%.

Если бы данное в условии неравенство было бы равенством, то факт существования предела был бы очевиден. В принципе можно рассмотреть подпоследовательности с четными и нечетными номерами - там в неравенстве просматривается монотонность правой части, и тогда можно говорить о связи ограниченности, монотонности и существования пределов. Стоит ли развивать эту идею? Какие еще замечания помогут продвинуться в решении?

задан 21 Апр 23:12

1

@elman: тут достаточно заметить, что x(n+2)<=y(n), что следует из неравенства. Поскольку также x(n+1)<=y(n), максимум двух чисел x(n+1) и x(n+2) не больше y(n), то есть y(n+1)<=y(n). Из ограниченности и монотонности имеем сходимость.

(22 Апр 0:12) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,251
×699
×424
×299
×5

задан
21 Апр 23:12

показан
159 раз

обновлен
22 Апр 0:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru