комплексные-числа - Найти вычеты функции относительно всех изолированных особых точек

В том виде, как написано в условии, точка $%z=0$% является устранимой особенностью. В таких случаях функцию в этой точке доопределяют (по непрерывности), и здесь получается аналитическая функция $%f(z)=1/(z^3-i)$%. Уравнение $%z^3=i$% имеет в точности три комплексных корня: это $%z_k=\exp(\pi/6+2\pi k/3)$%, где $%k=0,1,2$%. Эти точки будут изолированными особыми. Можно указать их явный вид: $%z_0=(\sqrt{3}+i)/2$%; $%z_1=(-\sqrt{3}+i)/2$%; $%z_2=-i$%.

Поскольку $%z^3-i=(z-z_0)(z-z_1)(z-z_2)$%, то вычет в точке $%z=z_0$% будет равен пределу функции $$\frac1{(z-z_1)(z-z_2)}$$ при $%z\to z_0$%. Ясно, что это число, равное $$\frac1{(z_0-z_1)(z_0-z_2)},$$ будет коэффициентом при $%1/(z-z_0)$% в разложении функции $%f(z)$% в ряд Лорана в окрестности точки $%z=z_0$%. Далее следуют рутинные вычисления, которые приводят к ответу $%(1-i\sqrt{3})/6$% для вычета в точке $%z=z_0$%.

Аналогичные подсчёты показывают, что вычет в точке $%z=z_1$% равен $%(1-i\sqrt{3})/6$%, а для вычета в точке $%z=z_2$% получается значение $%-1/3$%.

Если иметь в виду вариант задачи с $%z^3$% в числителе, то ход решения тот же. При этом добавится особая точка $%z=0$%, но в этой точке функция имеет полюс второго порядка, и вычет в ней равен нулю. Все остальные значения вычетов изменятся, но не очень существенно: вычет в точке $%z_k$%, найденный для предыдущего примера, надо будет домножить на $%1/z_k^2$%. Это делается легко, так как у точек $%z_k$% известен явный вид.