$%z^5/((z^3-i)z^5)$%

задан 18 Май '13 21:36

изменен 20 Май '13 19:51

Angry%20Bird's gravatar image


9125

Я правильно понимаю, что здесь $%z^5$% присутствует и в числителе, и в знаменателе?

(18 Май '13 22:37) falcao

я думаю возможно это ошибка в самом задании ( опечатка).можно заменить например степень числителя на 3

(18 Май '13 23:13) Alenka77
10|600 символов нужно символов осталось
2

В том виде, как написано в условии, точка $%z=0$% является устранимой особенностью. В таких случаях функцию в этой точке доопределяют (по непрерывности), и здесь получается аналитическая функция $%f(z)=1/(z^3-i)$%. Уравнение $%z^3=i$% имеет в точности три комплексных корня: это $%z_k=\exp(\pi/6+2\pi k/3)$%, где $%k=0,1,2$%. Эти точки будут изолированными особыми. Можно указать их явный вид: $%z_0=(\sqrt{3}+i)/2$%; $%z_1=(-\sqrt{3}+i)/2$%; $%z_2=-i$%.

Поскольку $%z^3-i=(z-z_0)(z-z_1)(z-z_2)$%, то вычет в точке $%z=z_0$% будет равен пределу функции $$\frac1{(z-z_1)(z-z_2)}$$ при $%z\to z_0$%. Ясно, что это число, равное $$\frac1{(z_0-z_1)(z_0-z_2)},$$ будет коэффициентом при $%1/(z-z_0)$% в разложении функции $%f(z)$% в ряд Лорана в окрестности точки $%z=z_0$%. Далее следуют рутинные вычисления, которые приводят к ответу $%(1-i\sqrt{3})/6$% для вычета в точке $%z=z_0$%.

Аналогичные подсчёты показывают, что вычет в точке $%z=z_1$% равен $%(1-i\sqrt{3})/6$%, а для вычета в точке $%z=z_2$% получается значение $%-1/3$%.

Если иметь в виду вариант задачи с $%z^3$% в числителе, то ход решения тот же. При этом добавится особая точка $%z=0$%, но в этой точке функция имеет полюс второго порядка, и вычет в ней равен нулю. Все остальные значения вычетов изменятся, но не очень существенно: вычет в точке $%z_k$%, найденный для предыдущего примера, надо будет домножить на $%1/z_k^2$%. Это делается легко, так как у точек $%z_k$% известен явный вид.

ссылка

отвечен 19 Май '13 0:14

можно поподробнее про рутинные вычисления?

(19 Май '13 8:46) Alenka77

@Alenka77: Числа $%z_0$%, $%z_1$%, $%z_2$% явно указаны. Находим разность $%z_0-z_1$%. Потом находим разность $%z_0-z_2$%. Перемножаем два найденных числа. Потом берём обратное. Всё это -- обычные арифметические действия с комплексными числами, и тут как бы нет ничего ни нового, ни сложного.

(19 Май '13 9:05) falcao

спасибо...

(19 Май '13 9:05) Alenka77

-1/3 получилась, а вот вычет в точке z0 =2/3(1+isqrt3); z1= 2/-3(1+isqrt3)

(2 Июн '13 16:48) Alenka77

@Alenka77: Надо избавиться от иррациональности в знаменателе стандартным способом (домножением на сопряжённое).

(2 Июн '13 17:05) falcao

точно, спасибо

(2 Июн '13 17:09) Alenka77
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×483

задан
18 Май '13 21:36

показан
1892 раза

обновлен
2 Июн '13 17:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru