Дана функция $$P(x)=x^{10}+ax+b$$ (икс в десятой степени плюс ax+b) Известно, что она делится на $$(x-1)^2$$

Необходимо найти значение $$P(-1) -?$$

Как это решить?

задан 23 Апр 22:03

изменен 23 Апр 22:52

all_exist's gravatar image


42.4k212

10|600 символов нужно символов осталось
2

Положим y=x-1. Тогда P(x)=P(y+1)=(y+1)^{10}+a(y+1)+b делится на y^2. При раскрытии скобок по биномиальной формуле получается 1+10y+... , где остальное делится на y^2. Многочлен равен a+b+1+(a+10)y+... , и здесь показан остаток от деления на y^2, который должен быть нулевым. Это значит, что a=-10, b=-1-a=9.

Теперь находим P(-1)=1-a+b=20.

Есть второй способ: из делимости P(x) на x-1 следует, что P(1)=0, откуда a+b+1=0. Далее, из делимости P(x) на (x-1)^2 следует делимость P'(x) на x-1, то есть P'(1)=0. Находим производную: P'(x)=10x^9+a, и далее 0=P'(1)=a+10, что приводит к тому же ответу.

ссылка

отвечен 23 Апр 23:02

Спасибо большое!

(23 Апр 23:18) milib
10|600 символов нужно символов осталось
1

Если многочлен делится на $%(x-1)^2$%, то он представим в виде $%P(x)=(x-1)^2\cdot Q(x)$%, откуда следует, что $%x=1$% является корнем полинома и его производной...

Таким образом, в данном случае для неизвестных коэффициентов получаете систему уравнений $$ \begin{cases} P(1)=0 \\ P'(1) = 0 \end{cases} $$

Найдёте коэффициенты, следовательно, сможете найти значение с точке $%x=-1$%...

ссылка

отвечен 23 Апр 22:56

Спасибо за подсказку!

(23 Апр 23:18) milib
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×879
×600
×376

задан
23 Апр 22:03

показан
112 раз

обновлен
23 Апр 23:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru