Найти все значения параметра p, при каждом из которых уравнение $$(x-p)^{2}=4(p+1)-8*|x|/x$$ имеет два решения

задан 19 Май '13 0:21

Правильно ли я понимаю, что "имеет два решения" означает "имеет ровно два решения" (а не "хотя бы два")?

(19 Май '13 0:26) falcao

Ровно два решения

(19 Май '13 0:29) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
3

Из условия ясно, что $%x=0$% не является решением. Поэтому возможны положительные $%x$%, для которых $%(x-p)^2=4p-4$%, или отрицательные $%x$%, для которых $%(x-p)^2=4p+12$%. Разберём три случая.

1) Уравнение имеет два положительных (различных) решения, и ни одного отрицательного.

Здесь необходимым условием будет $%p > 1$%, и оба числа $%x=p\pm\sqrt{4p-4}$% должны быть положительны. Это значит, что $%p > \sqrt{4p-4}$%. Возведение в квадрат здесь будет равносильным преобразованием ввиду $%p > 1$%, откуда $%p^2 > 4p-4$%, то есть $%(p-2)^2 > 0$%. Это значит, что $%p\ne2$%.

Второе квадратное уравнение имеет решения $%x=p\pm\sqrt{4p+12}$%, и среди них нет отрицательных. Следовательно, $%p-\sqrt{4p+12}\ge0$%, то есть $%p\ge\sqrt{4p+12}$%, что снова можно возвести в квадрат. Это даёт $%p^2\ge4p+12$%, то есть $%(p-2)^2\ge16$%. Таким образом, $%p-2\ge4$% или $%p-2\le-4$%. Второй вариант не подходит, а первый даёт $%p\ge6$%. Это и будет множество значений параметра для первого случая (так как $%p > 1$%, $%p\ne2$%).

2) Уравнение имеет одно положительное решение и одно отрицательное.

Первое возможно только при $%p\ge1$%, и если $%p=1$%, то $%x=1$%. Второе уравнение при этом имеет вид $%(x-1)^2=16$%, то есть $%x\in\{-3;5\}$%. Отрицательное решение здесь одно, то есть $%p=1$% подходит для второго случая. Если же $%p > 1$%, то решение $%x=p+\sqrt{4p-4}$% заведомо положительно, и тогда второй корень $%p-\sqrt{4p-4}$% не положителен. После возведения в квадрат имеем $%(p-2)^2\le0$%, то есть $%p=2$%. Второе уравнение имеет вид $%(x-2)^2=20$%. Отрицательный корень у него ровно один: $%x=2-2\sqrt{5}$%. Таким образом, второй случай даёт значения параметра $%p=1$% и $%p=2$%.

3) Уравнение не имеет положительных решений, но имеет два отрицательных.

Ясно, что здесь $%p < 1$%, так как в противном случае было бы положительное решение $%x=p+\sqrt{4p-4}$%. Таким образом, у первого квадратного уравнения нет никаких решений. Для второго уравнения мы должны иметь $%4p+12 > 0$%, то есть $%p > -3$%. Решениями будут $%x=p\pm\sqrt{4p+12}$%, и наибольшее из них отрицательно, что означает $%p+\sqrt{4p+12} < 0$%. Ясно, что $%p < 0$%, и тогда неравенство $%\sqrt{4p+12} < -p$% можно возвести в квадрат. Это даст $%(p-2)^2>16$%, как и выше. Теперь уже подходит лишь $%p-2 < -4$%, что вместе с предыдущими условиями даёт множество значений параметра для третьего случая: $%-3 < p < -2$%.

Собирая всё вместе, имеем ответ $%p\in(-3;-2)\cup\{1\}\cup\{2\}\cup[6,+\infty)$%.

ссылка

отвечен 19 Май '13 1:38

Спасибо! P.s. нас как-то по другому учили решать: мы раскрывали модуль, получали два случая, затем для каждого строили таблицы (в строках: параметр, дискриминант, икс вершина минус лямбда, эф от лямбда делить на коэффицент a. в столбцах промежутки)

(19 Май '13 12:17) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$(x-p)^2=4(p+1)-8\frac{|x|}{x}=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x^2-2px+p^2-4p+4=0;x>0,\\x^2-2px+p^2-4p-12=0;x<0\end{aligned}\right.$$ Рассмотрим две функции $%f_1(x)=x^2-2px+p^2-4p+4\quad,x>0$% и $%f_2(x)=x^2-2px+p^2-4p-12.\quad,x<0$% Графиками этих двух функций являются части двух равных парабол, вершины которых находятся в точках $%O_1(p;-4p+4)$% и $%O_2(p;-4p-12)-$% соответственно. Рассмотрим варианты:

$%1)\quad p=0,$% в этом случае уравнение имеет одно решение.

$%2)\quad p>0,$% в этом случае будет ровно два решения, при условии $%f_1(p)=0\Leftrightarrow p=1$% или $%f_1(0)=0\Leftrightarrow p=2$% или $%\begin{cases}f_1(p)<0,\\f_2(p)\ge0\end{cases}\Leftrightarrow p\in [6;+\infty)$%

alt text

$%3)\quad p<0,$% в этом случае будет ровно два решения, при условии $$\begin{cases}f_2(0)>0,\\f_2(p)<0,\end{cases}\Leftrightarrow p\in (-3;-2)$$

alt text

Ответ. $%p\in(-3;-2)\cup\{1;2\}\cup[6;+\infty).$%

ссылка

отвечен 19 Май '13 15:07

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$(x-p)^{2}=4(p+1)-8\frac{|x|}x\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}\begin{cases}(x-p)^{2}=4(p-1)\\ x>0\end{cases}\\\begin{cases}(x-p)^{2}=4(p+3)\\ x<0\end{cases} \end{aligned}\right.$$

Ясно что $% p+3>p-1, \forall p\in R ,$% значит при $%p\le-3,$% уравнение не имеет 2 решения (I система не имеет решений, а II система при $%p<-3$% не имеет решвние, а при $%p=-3$% имеет одно решениe $%x=-3$%).

При $%p=0,$% первая система не имеет решений,а вторая имеет одно решение $%x=-2\sqrt{3},$% следовательно исходное уравнение не имеет 2 решения .

Предположим $%p\in(-3;0)\cup(0;\infty).$%

1) p>0 Надо потребовать, чтобы парралленые прямые $%y=4(p-1)$% и $%y=4(p+3)$% находились вверх от прямой $%y=p^2,$%, или $%y=4(p+3)$% находилась вверх,а $%y=4(p-1)$% совпадала со прямой $%y=p^2,$% или со прямой $%y=0,$% в этих трех случаях тогда обе системы будут иметь по одному решений. А если прямые $%y=4(p-1)$% и $%y=4(p+3)$% находятся между $%y=p^2,$% и $%y=0,$% ($%y=4(p+3)$% может совподать с $%y=p^2,$%),тогда II-я система не имеет решений, а первая имеет ровно два решений.(см. рисунок $%1.p>0$%)

И так получаем совокупность $%\left[\begin{aligned}4(p-1)\ge p^2\\\begin{cases}4(p+3)\le p^2\\ 4(p-1)>0\end{cases}\\p=1\end{aligned}\right.\Leftrightarrow p\in\{1;2\}\cup(6;\infty)$%

2) -3<p<0 Надо потребовать, чтобы парралленые прямые $%y=4(p-1)$% и $%y=4(p+3)$% находились вверх от прямой $%y=p^2,$%.В этом случае обе системы будут иметь по одному решений. А если прямые $%y=4(p-1)$% и $%y=4(p+3)$% находятся между $%y=p^2,$% и $%y=0,$% ,тогда I-я система не имеет решений, а II-я имеет ровно два решений.

И так получаем совокупность $%\left[\begin{aligned}4(p-1)> p^2 \\ \begin{cases}4(p+3)<p^2 \\ p\in(-3;0) \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow p\in(-3;-2)$%

Ответ. $%p\in(-3;-2)\cup\{1;2\}\cup[6;\infty).$%

alt text

alt text

ссылка

отвечен 19 Май '13 15:15

изменен 19 Май '13 17:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×253

задан
19 Май '13 0:21

показан
6806 раз

обновлен
19 Май '13 17:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru