Найдите сумму ряда:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^{n+1}}\left\lfloor\dfrac{2^n}{3}\right\rfloor$$

задан 27 Апр 10:27

10|600 символов нужно символов осталось
1

При нечётном n остаток от деления 2^n на 3 равен 2, при чётном он равен 1. Поэтому целая часть 2^n/3 равна (2^n-2)/3 для нечётного случая и (2^n-1)/3 для чётного случая.

Если для всех n взять второй случай, то суммируется (2^n-1)/3^(n+2) по n>=1. При этом надо дополнительно вычесть сумму 1/3^(n+2) по n=1,3,5, ... . Это (1/3)(1/9+(1/9)^2+...)=1/24. В первой из сумм мы имеем (1/9)((2/3)+(2/3)^2+...-(1/3)-(1/3)^2-...)=(1/9)(2-1/2)=1/6. Итого 1/6-1/24=1/8.

Задача по характеру скорее близка к учебной нежели олимпиадной.

ссылка

отвечен 27 Апр 13:01

@falcao, большое спасибо! Да, задача не совсем олимпиадная, тем не менее, она предлагалась на олимпиаде Высшей Школы Экономики: https://math.hse.ru/data/2011/02/01/1208778150/msc-olimp1.pdf

(27 Апр 16:46) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
2

Будем использовать преобразование Абеля: $%\sum\limits_{k=1}^{2n}a_kb_k=S_{2n}b_{2n}-\sum\limits_{k=1}^{2n-1}S_k\Delta b_k$%, где $%a_k=\frac{1}{3^{k+1}}$%, $%S_n=\sum\limits_{k=1}^na_k$%, $%b_k=\left\lfloor\dfrac{2^k}{3}\right\rfloor$%, $%\Delta b_k=b_{k+1}-b_k$%. Далее остаётся всё подставить и преобразовывать. До перехода к пределу все нехорошие слагаемые сократятся. Окончательно в пределе всё сводится к геометрическим прогрессиям. Ключевые моменты такие: $%\left\lfloor\dfrac{2^k}{3}\right\rfloor=\frac{2^k}{3}-\left\{\frac{2^k}{3}\right\}$%, $%\left\{\frac{2^{k+1}}{3}\right\}-\left\{\frac{2^k}{3}\right\}=\frac{(-1)^k}{3}$%, $%\left\{\frac{2^{2n}}{3}\right\}=\frac{1}{3}$%. Если не ошибся со знаками, то сумма до перехода к пределу получилась такая:$$-\frac{1}{6}\left\{\frac{2^{2n}}{3}\right\}-\frac{1}{18}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2n}+\frac{1}{6\cdot3^{2n}}\cdot\left\{\frac{2^{2n}}{3}\right\}+\frac{1}{18}-\frac{1}{18}\sum\limits_{k=1}^{2n-1}\left(-\frac{1}{3}\right)^k+\frac{1}{18}\sum\limits_{k=1}^{2n-1}\left(\frac{2}{3}\right)^k.$$


Досчитал, ответ $%\frac{1}{8}$%.

ссылка

отвечен 27 Апр 11:50

изменен 28 Апр 8:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,191
×22
×14
×4
×2

задан
27 Апр 10:27

показан
149 раз

обновлен
28 Апр 8:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru