Пусть $%P$% и $%Q$% - ортогональные отражения евклидова пространства столбцов $%R^3$% относительно плоскости $%x_{1} - x_{2} + 4x_{3} = 0$% и, соответственно, относительно прямой с направляющим вектором $%(-1, 0, 1)^{T}$%. Найти каноническую матрицу ортогонального оператора $%Rx = P(Qx), x \in R^3$%.

Как находить $%P(Qx)$% и его каноническую матрицу, мне известно. Проблемы возникли с нахождением матриц операторов отражения $%P$% и $%Q$%. Возможно, есть формулы, позволяющие по вектору нормали к плоскости и направляющему вектору прямой построить матрицы данных операторов?

задан 19 Май '13 12:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

Формулы наверняка где-то выписаны, но мне кажется, что их проще вывести, чем запоминать или искать. Скажем, при отражении относительно плоскости мы берём точку $%(a,b,c)$%, прибавляем к ней вектор $%t(1,-1,4)$%, а затем ищем координаты проекции на плоскость, подставляя $%(a+t,b-t,c+4t)$% в уравнение плоскости. Это позволяет найти $%t$%, решив линейное уравнение. Отражённая от плоскости точка будет иметь координаты $%(a,b,c)+2t(1,-1,4)$%. Далее применяем это преобразование к базисным векторам, находим координаты образов и записываем их в столбцы матрицы.

Для отражения относительно прямой -- аналогично: ищем на прямой основание проекции. Оно имеет вид $%t(-1,0,1)$%, и если вычесть $%(a,b,c)$%, то получится вектор, ортогональный $%(-1,0,1)$%. Приравнивая к нулю скалярное произведение, находим $%t$%, а затем отражаем точку $%(a,b,c)$% относительно основания проекции. Вес эти вычисления должны реализоваться достаточно просто.

ссылка

отвечен 19 Май '13 13:07

Большое спасибо.

(19 Май '13 13:47) Крут Дёгель
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,337
×840

задан
19 Май '13 12:36

показан
4688 раз

обновлен
19 Май '13 13:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru