|
Пусть $%P$% и $%Q$% - ортогональные отражения евклидова пространства столбцов $%R^3$% относительно плоскости $%x_{1} - x_{2} + 4x_{3} = 0$% и, соответственно, относительно прямой с направляющим вектором $%(-1, 0, 1)^{T}$%. Найти каноническую матрицу ортогонального оператора $%Rx = P(Qx), x \in R^3$%. Как находить $%P(Qx)$% и его каноническую матрицу, мне известно. Проблемы возникли с нахождением матриц операторов отражения $%P$% и $%Q$%. Возможно, есть формулы, позволяющие по вектору нормали к плоскости и направляющему вектору прямой построить матрицы данных операторов? задан 19 Май '13 12:36 
Крут Дёгель |
|
Формулы наверняка где-то выписаны, но мне кажется, что их проще вывести, чем запоминать или искать. Скажем, при отражении относительно плоскости мы берём точку $%(a,b,c)$%, прибавляем к ней вектор $%t(1,-1,4)$%, а затем ищем координаты проекции на плоскость, подставляя $%(a+t,b-t,c+4t)$% в уравнение плоскости. Это позволяет найти $%t$%, решив линейное уравнение. Отражённая от плоскости точка будет иметь координаты $%(a,b,c)+2t(1,-1,4)$%. Далее применяем это преобразование к базисным векторам, находим координаты образов и записываем их в столбцы матрицы. Для отражения относительно прямой -- аналогично: ищем на прямой основание проекции. Оно имеет вид $%t(-1,0,1)$%, и если вычесть $%(a,b,c)$%, то получится вектор, ортогональный $%(-1,0,1)$%. Приравнивая к нулю скалярное произведение, находим $%t$%, а затем отражаем точку $%(a,b,c)$% относительно основания проекции. Вес эти вычисления должны реализоваться достаточно просто. отвечен 19 Май '13 13:07 
falcao Большое спасибо.
(19 Май '13 13:47)
Крут Дёгель
|