Решить уравнение: $$\tau{(n^2-6)}=n$$

Равносильная формулировка:

Число вида $%n^2-6$% имеет ровно $%n$% попарно различных натуральных делителей. Найти все такие числа.

задан 27 Апр 20:29

10|600 символов нужно символов осталось
3

Решение не мое.

Ответ: $%n=4$%.

Заметим, что ни одна пара квадратов не отличается на $%6$%, поэтому $%n^2 - 6$% не является квадратом, поэтому все его делители разбиваются на пары. Так как их всего $%n$%, то $%n = 2k$% для некоторого натурального $%k$%.

Теперь заметим, что делители $%n^2 - 6 = 2(2k^2 - 3)$% - это все делители нечетного числа $%2k^2 - 3$% в двух "вариациях" - нечетной и "нечетной, умноженной на $%2$%". Их всего $%2k$%, поэтому $%2k^2 - 3$% имеет $%k$% делителей.

Пусть $%s=2k^2 - 3 = (3^{a_{1}}) ⋅ (5^{a_{2}}) ⋅ (7^{a_{3}}) ⋅ ...$%

Тогда количество делителей с одной стороны равняется $%k$%, с другой стороны равняется $%(a_{1}+1)(a_{2}+1)(a_{3}+1)⋅...$%

Откуда $%2(a_{1}+1)^2 ⋅ (a_{2}+1)^2 ⋅ (a_{3}+1)^2 ... -3 = (3^{a_{1}}) ⋅(5^{a_{2}}) ⋅ (7^{a_{3}}) ⋅ ...$%

Сравним величины $%A=2(a_{1}+1)^2 ⋅ (a_{2}+1)^2 ⋅ (a_{3}+1)^2$% и $%B=(3^{a_{1}}) ⋅ (5^{a_{2}}) ⋅ (7^{a_{3}}) ⋅ ...$% ; Должно выполняться $%A-B=3>0$%

Пусть наименьший простой делитель $%s$% больше $%7$%. Тогда пусть $%p$% - простое число, не меньшее $%11$%.

несложно видеть, что $%p^m > 2(m+1)^2 $%

Тогда ясно, что $%A-B<0$%

Пусть наименьший простой делитель $%s$% равен $%7$%.

Пусть $%a_{3} = 1$%, а для остальных натуральных $%j$%: $%a_{j}=0$%, тогда $%B=7, A=5$% и $%A-B<0.$% Несложно видеть, что далее при увеличении любого $%a_{j}$% при $%j > 2$% мы увеличим величину $%B/A$% и, следовательно, оставим $%A-B < 0$%.

Пусть наименьший простой делитель $%s$% равен $%5$%

При $%a_{2}=1$% и $%a_{j}=0$% для остальных натуральных$% j$% имеем $%A-B=3$%, откуда получаем $%2k^2-3=5 => k=2 => n=4$%

Далее при увеличении любого $%a_{j}$% при $%j >1$% мы увеличим величину $%B/A$%, следовательно, уменьшим величину $%A-B$% и не сможем добиться желаемого.

Наконец, пусть наименьший простой делитель $%s$% равен $%3$%. $%A-3$% должно делиться на $%3$% и $%А$% делится на $%3$%. Допустим $%a_{j}=0$% для любого натурального $%j$% и будем увеличивать $%a_{j}$%. Увеличение $%a_{j}$% для любого $%j>1$% строго увеличит величину $%B/A$%, поэтому так как $%3^4 > 2⋅25$%, то $%a_{1} < 4$%

Если $%a_{1} = 2$% имеем, что $%B$% делится на $%9$%, а $%A$% - не делится. Тогда $%a_{1} ≠ 2$%. Тогда $%a_{j} = 2$% для некоторого $%j >1$% Тогда $%B/A >= 25⋅3/4⋅8 = 75/32 > 1$% и $%B-A < 0$%, что невозможно.

Итого, единственное подходящее $% k$% это $%2$%.

ссылка

отвечен 13 Май 20:51

изменен 13 Май 20:57

1

@potter: я до какого-то момента рассуждал тем же путём, до на каком-то этапе "увяз" в технических оценках, и заключил, что я на неверном пути. Но, оказывается, так и надо было решать. У меня на это не хватило терпения :)

(14 Май 3:32) falcao

@potter, большое спасибо! Вы пишете, что решение - не Ваше. Если не секрет, чьё оно тогда?

(14 Май 10:26) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,091
×1,077
×227
×147
×16

задан
27 Апр 20:29

показан
141 раз

обновлен
14 Май 10:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru