При каких значений параметра A уравнение (дробь однатретих) умножить на Хвкубе минус Х минус 1=А имеет три корня?

$%\frac{1}3(x^3-x-1)=A$%

задан 19 Май '13 15:45

изменен 20 Май '13 19:47

Angry%20Bird's gravatar image


9125

Правильно исправила?

(19 Май '13 15:52) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%f(x)=x^3-x-1$%. Рассмотрим производную: $%f'(x)=3x^2-1$%. Она обращается в ноль в точках $%x_1=-1/\sqrt{3}$% и $%x_2=1/\sqrt{3}$%. Ясно также, из соображений знака производной, что функция $%f(x)$% возрастает на промежутке $%(-\infty,x_1]$% принимая значения от $%-\infty$% до $%f(x_1)=x_1(x_1^2-1)-1=-2x_1/3-1=2\sqrt{3}/9-1$%, далее убывает на $%[x_1,x_2]$%, уменьшаясь от $%f(x_1)$% до $%f(x_2)=x_2(x_2^2-1)-1=-2x_2/3-1=-2\sqrt{3}/9-1$%, и далее возрастает на промежутке $%[x_2,+\infty)$%, принимая значения от $%f(x_2)$% до $%+\infty$%.

Из этих соображений понятно (при желании, это можно увидеть на графике), что $%f(x)$% принимает ровно три раза все значения из открытого интервала $%(f(x_2),f(x_1))$%, и никакие другие. Здесь надо ещё учесть множитель $%1/3$%, и ответом будут значения $$A\in\left(-\frac{2\sqrt{3}+9}{27};\frac{2\sqrt{3}-9}{27}\right).$$

Добавление. Я сейчас перечитал словесную формулировку условия, и мне показалось, что там имелось в виду уравнение $$\frac13x^3-x-1=A.$$ По ряду причин, так получается естественнее. Здесь всё решается аналогично, но за счёт множителя $%1/3$% производная равна $%x^2-1$%, и критические точки равны $%\pm1$%. Находим значения в этих точках, и ответом будет интервал $%A\in(-5/3;-1/3)$%.

ссылка

отвечен 19 Май '13 16:48

изменен 19 Май '13 22:30

10|600 символов нужно символов осталось
1

Умножим левую и правую части уравнения на 3. Получим уравнение вида $%x^3-x-1-3A=0$%. Обозначим $%p=-1,q=-1-3A$% и воспользуемся формулой Кардано:

$$Q=\left (\frac{p}{3}\right)^3+\left(\frac{q}{2}\right)^2=-\frac{1}{27}+\frac{(3A+1)^2}{4}$$

Исходное уравнение имеет три корня тогда и только тогда, когда Q отрицательно:

$$Q<0\Rightarrow\frac{(3A+1)^2}{4}<\frac{1}{27}\Rightarrow (3A+1)^2<\frac{4}{27}\Rightarrow-\frac{2}{3\sqrt3}<3A+1<\frac{2}{3\sqrt3}$$

$$\frac{-\frac{2}{3\sqrt3}-1}{3} < A< \frac{\frac{2}{3\sqrt3}-1}{3}$$ $$\frac{-2-3\sqrt3}{9\sqrt3}< A<\frac{2-3\sqrt3}{9\sqrt3}$$

ссылка

отвечен 19 Май '13 20:32

изменен 19 Май '13 20:41

10|600 символов нужно символов осталось
0

$%\frac{1}3(x^3-x-1)=A \Leftrightarrow x^3=x+1+3A$% Надо требовать, чтобы графики функций $%f(x)=x^3$% и $%g(x)=x+1+3A$% пересекались в трех точках. Прямая $%y=x+1+3A$%, параллельна $%y=x,$%. Решив уравнение $%f^{'}(x)=1,$% найдем абсцисси тех точек в которых касательные графика функции $%f(x)=x^3$% параллельны $%y=x,$% это $% x=\pm\frac{1}{\sqrt3}, $% а уравнения касательных $%y=x\pm\frac{2}{3\sqrt3}.$% Точки пересечения с $%Oy$% -$%(0;\pm\frac{2}{3\sqrt3}).$%

Надо решить систему $%-\frac{2}{3\sqrt3}<1+3A<\frac{2}{3\sqrt3}\Leftrightarrow -\frac{3\sqrt3+2}{9\sqrt3}<A<\frac{2-3\sqrt3}{9\sqrt3}.$%

alt text

ссылка

отвечен 19 Май '13 16:57

изменен 19 Май '13 17:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,852

задан
19 Май '13 15:45

показан
2013 раз

обновлен
19 Май '13 22:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru