Для натурального числа $%n$% обозначим через $%S(n)$% сумму цифр в десятичной записи числа $%n$%.Найдите все натуральные $%n$% такие, что: $$ n = 2(S(n))^3+8$$

задан 30 Апр '19 0:10

изменен 30 Апр '19 1:12

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


7.7k213

10|600 символов нужно символов осталось
4

Положим $%S(n)=k$%. Надо найти все значения $%k$%, для которых $%S(2k^3+8)=k$%.

Ввиду признака делимости на 9, число $%2k^3-k-1$% делится на 9. Легко проверяется, что $%k$% должно давать остаток 1 от деления на 9 (проверить достаточно только $%k=1,4,7$%, так как $%k^3$% сравнимо с $%k$% по модулю 3).

Итак, $%k=9m+1$%, где $%m\ge0$%. Значения $%m=0,1,2$% дают числа $%2(9m+1)^3+8$%, равные $%10$%, $%2008$%, $%13726$% соответственно, и они подходят.

Заметим, что наименьшее число с суммой цифр $%9m+1$% равно $%19...9$% ($%m$% девяток). Отсюда $%2k^3+8$% не меньше такого числа, но равенство не имеет места ввиду несовпадения чётностей. Поэтому разность не меньше $%9$%, откуда $%k^3\ge10^m$%. В частности, $%k=9m+1 > 2^m$%, откуда $%m\le5$%. Случаи $%m=3,4,5$% дают $%k=28,37,46$%, и число $%2k^3+8$% принимает соответственно значения $%43912$% с суммой $%19$%, $%101314$% с суммой $%10$%, и $%194680$% с суммой $%28$%. Тем самым, найденные выше три значения $%n$% исчерпывают все решения.

ссылка

отвечен 30 Апр '19 1:02

@falcao Спасибо.

(2 Май '19 22:36) old
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×195
×18
×9

задан
30 Апр '19 0:10

показан
167 раз

обновлен
2 Май '19 22:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru