|
$$1+sinx+cos3x=cosx+cos2x+sin2x\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow1+sinx+4cos^3x-3cosx=cosx+1-2sin^2x+2sinxcosx\Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow sinx+4cos^3x-4cosx+2sinx(sinx-cosx)=0\Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow sinx-4cosxsin^2x+2sinx(sinx-cosx)=0\Leftrightarrow$$$$sinx\big(1-4sinxcosx+2(sinx-cosx))=0\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow sinx(2(sinx-cosx)^2+2(sinx-cosx)-1)=0\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}sinx=0,\\2(sinx-cosx)^2+2(sinx-cosx)-1=0,\end{aligned}\right.....$$ Дополнительно. Решая второе уравнение как квадратное относительно $%sinx-cosx,$% получите:$$1) sinx-cosx=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow sinx\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-cosx\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-\Big(\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\Big)\Leftrightarrow $$ $$\Leftrightarrow sin(x-\frac{\pi}{4})=sin(-\frac{5\pi}{12})\Leftrightarrow x-\frac{\pi}{4}=(-1)^k\cdot arcsin(sin(-\frac{5\pi}{12}))+k\pi,k\in Z\Leftrightarrow $$$$\Leftrightarrow x-\frac{\pi}{4}=(-1)^{k+1}\cdot\frac{5\pi}{12}+k\pi,k\in Z...$$ $%2)sinx-cosx=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-$%решается аналогично. отвечен 19 Май '13 21:31 
Anatoliy |
|
отвечен 19 Май '13 20:46 
epimkin У Вас там при переходе от 7-й строчки снизу к 6-й есть ошибка в коэффициенте. Но на общий ход решения это сильно не влияет: в самом последнем пункте должно быть $%\cos x=1/2$% (вместо $%1/4$%).
(19 Май '13 22:16)
falcao
Спасибо. Стареем
(19 Май '13 22:18)
epimkin
Ничего страшного -- само решение хорошее, и ответ выписывается легко.
(19 Май '13 22:21)
falcao
|
|
А если так: $%1+cos3x$% заменить по формуле половинного аргумента,а оставшиеся косинусы и синусы сгруппировать и преобразовать в произведения по формулам суммы и разности. По-моему, так быстрее и проще. отвечен 22 Май '13 9:06 
Juli73 |