математический-анализ - Как вычислить этот интеграл?

Из рисунка не очень ясно, находится ли $%t$% под корнем (предполагаю, что нет), хотя на ответ это сильно не влияет.

Прежде всего, $%x$% в числителе надо представить как сумму (x-1)+1. Получатся два интеграла, и в обоих надо заменить $%x-1$% на $%u$%. Пределы интегрирования будут по-прежнему меняться от $%-\infty$% до $%+\infty$%.

Первое слагаемое, для функции $%u\cdot\exp(-\frac{u^2}{2t^2})$%, будет равно нулю, так как интегрируемая функция нечётна. Что касается второго слагаемого, то после замены $%v=u/(\sqrt{2}t)$%, и с учётом того, что $%du=\sqrt{2}t\,dv$%, часть выражения в знаменателе у дроби перед интегралом сократится, и останется интеграл $$\frac1{\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp(-v^2)\,dv,$$ равный единице. (Это один из классических интегралов, который можно вычислить многими известными способами.)

Если всё-таки $%t$% не заключено под знак квадратного корня, то получится $%\sqrt{t}$%.