В однокруговом шахматном турнире единственный победитель набрал количество очков, равное квадрату числа очков, набранных занявшим последнее место. При каком наименьшем количестве участников турнира такое могло быть? (Победа в партии – 1 очко, ничья – 1/2 очка, поражение – 0 очков)

задан 3 Май '19 1:05

10|600 символов нужно символов осталось
1

Квадратом полуцелого числа не будет ни целое, ни полуцелое. Следовательно, обладатель последнего места набрал целое число очков. Ясно, что это не 0 и не 1. Если это 2, то победитель набрал 4 очка. Тогда участников было не меньше 5. Если ровно 5, то разыгрывалось 10 очков, из которых 6 набрали последние четверо, и тогда 2 очка у обладателя последнего места быть не могло. При 6 участниках могло быть так, что пятеро кроме лидера между собой сыграли вничью, набрав в этих встречах каждый по 2 очка, а обладатель второго места обыграл лидера, набрав 3 очка. Лидер же выиграл у оставшихся, набрав 4 очка, а места с 3-го по 6-е поделили обладатели 2 очков.

В условии не сказано, что обладатель наименьшего числа очков был единственным, поэтому пример с 6 участниками подходит. Если добавить условие единственности, то нетрудно построить пример для 7 участников, набравших 4 и 2 очка для первого и последнего мест, а остальные получили по 3.

ссылка

отвечен 3 Май '19 1:48

@falcao, большое спасибо! А если, помимо условия единственности, добавить более сильное условие - все участники набрали попарно различное количество очков? Или тогда квадрат не получится?

(3 Май '19 2:54) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: здесь уже не проходит вариант с 4 и 2. Если взять 9 и 3, то 10 или 11 участников мало, и 12, вроде бы, не проходит, а потом начинается "переполнение", так как между 3 и 9 с разным числом очков многих не "втиснуть". А для значений 16 и 4, по-моему, с 17 участниками уже возможно построить пример.

(3 Май '19 3:22) falcao

@falcao, большое спасибо!

(3 Май '19 13:40) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,372
×249
×47
×5
×2

задан
3 Май '19 1:05

показан
140 раз

обновлен
3 Май '19 13:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru